Номер 425, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген есепті шешу үшін бізге белгісіз $x_2, x_3$ мәндерін және $p_3$ ықтималдығын табу керек.

1. $p_3$ ықтималдығын анықтау

Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең: $p_1 + p_2 + p_3 = 1$.

Есеп шарты бойынша $P(X=x_1) = p_1 = 0,3$ және $P(X=x_2) = p_2 = 0,2$. Осы мәндерді формулаға қоямыз:

$0,3 + 0,2 + p_3 = 1$

$0,5 + p_3 = 1$

$p_3 = 1 - 0,5 = 0,5$

2. Математикалық күтім мен дисперсия арқылы теңдеулер жүйесін құру

Математикалық күтімнің $M(X)$ формуласы: $M(X) = \sum x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$.

Есеп шартынан $M(X) = 2,2$ екені белгілі. Белгілі мәндерді ($x_1=1, p_1=0,3, p_2=0,2, p_3=0,5$) орнына қойып, бірінші теңдеуді аламыз:

$2,2 = 1 \cdot 0,3 + x_2 \cdot 0,2 + x_3 \cdot 0,5$

$2,2 = 0,3 + 0,2x_2 + 0,5x_3$

$0,2x_2 + 0,5x_3 = 1,9$ (1)

Дисперсияның $D(X)$ формуласы: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Алдымен $M(X^2)$ мәнін табамыз.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$.

Есеп шартынан $D(X) = 0,76$ және $M(X) = 2,2$.

$0,76 = M(X^2) - (2,2)^2$

$0,76 = M(X^2) - 4,84$

$M(X^2) = 0,76 + 4,84 = 5,6$

Енді $M(X^2)$ өрнегін жазып, екінші теңдеуді аламыз:

$5,6 = 1^2 \cdot 0,3 + x_2^2 \cdot 0,2 + x_3^2 \cdot 0,5$

$5,6 = 0,3 + 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

$0,2x_2^2 + 0,5x_3^2 = 5,3$ (2)

3. Теңдеулер жүйесін шешу

Бізде $x_2$ және $x_3$ айнымалыларына қатысты екі теңдеуден тұратын жүйе бар:

$\begin{cases} 0,2x_2 + 0,5x_3 = 1,9 \\ 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2 = 5,3 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $x_3$-ті $x_2$ арқылы өрнектейміз:

$0,5x_3 = 1,9 - 0,2x_2 \implies x_3 = \frac{1,9 - 0,2x_2}{0,5} = 3,8 - 0,4x_2$

Алынған өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$0,2x_2^2 + 0,5(3,8 - 0,4x_2)^2 = 5,3$

$0,2x_2^2 + 0,5(14,44 - 3,04x_2 + 0,16x_2^2) = 5,3$

$0,2x_2^2 + 7,22 - 1,52x_2 + 0,08x_2^2 = 5,3$

Ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$0,28x_2^2 - 1,52x_2 + 1,92 = 0$

Квадраттық теңдеуді шешу үшін оны 100-ге көбейтіп, 4-ке бөлеміз:

$7x_2^2 - 38x_2 + 48 = 0$

Дискриминантты есептейміз: $D = b^2 - 4ac = (-38)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1444 - 1344 = 100$.

Түбірлерді табамыз: $x_2 = \frac{38 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{38 \pm 10}{14}$.

$x_{2,1} = \frac{38 - 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$

$x_{2,2} = \frac{38 + 10}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

Есептің $x_1 < x_2 < x_3$ (яғни $1 < x_2 < x_3$) шартын тексереміз.

1. Егер $x_2 = 2$ болса, онда $x_3 = 3,8 - 0,4 \cdot 2 = 3,8 - 0,8 = 3$. Бұл жағдайда $1 < 2 < 3$ теңсіздігі орындалады.

2. Егер $x_2 = \frac{24}{7}$ болса, онда $x_3 = 3,8 - 0,4 \cdot \frac{24}{7} = \frac{19}{5} - \frac{9,6}{7} = \frac{133 - 48}{35} = \frac{85}{35} = \frac{17}{7}$. Бұл жағдайда $x_2 \approx 3,43$ және $x_3 \approx 2,43$ болады, бұл $x_2 < x_3$ шартына қайшы келеді.

Демек, жалғыз дұрыс шешім: $x_2=2$ және $x_3=3$.

Сонымен, X кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын құрайтын барлық компоненттер табылды: $x_1=1, x_2=2, x_3=3$ және $p_1=0,3, p_2=0,2, p_3=0,5$.

Ответ: X кездейсоқ шамасының таралу заңдылығы келесідей:

Мүмкін мәндері: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

Сәйкес ықтималдықтары: $p_1 = 0,3; p_2 = 0,2; p_3 = 0,5$.