Номер 420, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Условие задачи: в партии из 10 деталей 3 являются нестандартными. Из этой партии случайным образом извлекли две детали. Требуется найти математическое ожидание (в тексте задачи "математикалық болжам") числа нестандартных деталей среди извлеченных.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу нестандартных деталей среди двух отобранных. Эта величина может принимать следующие значения: 0, 1 или 2.
Для нахождения математического ожидания необходимо составить закон распределения этой случайной величины, то есть найти вероятности для каждого из её возможных значений.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
Это общее число равновозможных исходов.

Теперь найдем вероятности для каждого значения $X$. В партии 3 нестандартных и $10 - 3 = 7$ стандартных деталей.
Вероятность того, что $X=0$ (обе извлеченные детали стандартные):
Для этого нужно выбрать 0 нестандартных деталей из 3 и 2 стандартные детали из 7. Число таких способов:
$m_0 = C_3^0 \cdot C_7^2 = 1 \cdot \frac{7!}{2!5!} = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=0) = \frac{m_0}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=1$ (одна деталь нестандартная, одна стандартная):
Для этого нужно выбрать 1 нестандартную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 7. Число таких способов:
$m_1 = C_3^1 \cdot C_7^1 = 3 \cdot 7 = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=1) = \frac{m_1}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=2$ (обе детали нестандартные):
Для этого нужно выбрать 2 нестандартные детали из 3 и 0 стандартных деталей из 7. Число таких способов:
$m_2 = C_3^2 \cdot C_7^0 = \frac{3!}{2!1!} \cdot 1 = 3$.
Вероятность этого события:
$P(X=2) = \frac{m_2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{21}{45} + \frac{21}{45} + \frac{3}{45} = \frac{45}{45} = 1$.
Закон распределения составлен верно.

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum x_i p_i = x_0 P(X=0) + x_1 P(X=1) + x_2 P(X=2)$.
Подставим наши значения:
$M(X) = 0 \cdot \frac{21}{45} + 1 \cdot \frac{21}{45} + 2 \cdot \frac{3}{45} = 0 + \frac{21}{45} + \frac{6}{45} = \frac{27}{45}$.
Сократим дробь:
$M(X) = \frac{27}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Также можно воспользоваться свойством математического ожидания для гипергеометрического распределения, которое вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot \frac{K}{N}$, где $n$ — размер выборки, $K$ — число "успехов" (нестандартных деталей) в генеральной совокупности, $N$ — размер генеральной совокупности.
В нашем случае: $n=2$, $K=3$, $N=10$.
$M(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 0.6