Номер 420, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

420. Бір партиядағы 10 тетіктің үшеуі стандартты емес. Осы партиядан кездейсоқ екі тетік алынған. Алынған екі тетіктің стандарт емес тетік болуының математикалық болжамын табыңдар.

Условие задачи: в партии из 10 деталей 3 являются нестандартными. Из этой партии случайным образом извлекли две детали. Требуется найти математическое ожидание (в тексте задачи "математикалық болжам") числа нестандартных деталей среди извлеченных.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу нестандартных деталей среди двух отобранных. Эта величина может принимать следующие значения: 0, 1 или 2.
Для нахождения математического ожидания необходимо составить закон распределения этой случайной величины, то есть найти вероятности для каждого из её возможных значений.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
Это общее число равновозможных исходов.

Теперь найдем вероятности для каждого значения $X$. В партии 3 нестандартных и $10 - 3 = 7$ стандартных деталей.
Вероятность того, что $X=0$ (обе извлеченные детали стандартные):
Для этого нужно выбрать 0 нестандартных деталей из 3 и 2 стандартные детали из 7. Число таких способов:
$m_0 = C_3^0 \cdot C_7^2 = 1 \cdot \frac{7!}{2!5!} = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=0) = \frac{m_0}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=1$ (одна деталь нестандартная, одна стандартная):
Для этого нужно выбрать 1 нестандартную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 7. Число таких способов:
$m_1 = C_3^1 \cdot C_7^1 = 3 \cdot 7 = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=1) = \frac{m_1}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=2$ (обе детали нестандартные):
Для этого нужно выбрать 2 нестандартные детали из 3 и 0 стандартных деталей из 7. Число таких способов:
$m_2 = C_3^2 \cdot C_7^0 = \frac{3!}{2!1!} \cdot 1 = 3$.
Вероятность этого события:
$P(X=2) = \frac{m_2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{21}{45} + \frac{21}{45} + \frac{3}{45} = \frac{45}{45} = 1$.
Закон распределения составлен верно.

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum x_i p_i = x_0 P(X=0) + x_1 P(X=1) + x_2 P(X=2)$.
Подставим наши значения:
$M(X) = 0 \cdot \frac{21}{45} + 1 \cdot \frac{21}{45} + 2 \cdot \frac{3}{45} = 0 + \frac{21}{45} + \frac{6}{45} = \frac{27}{45}$.
Сократим дробь:
$M(X) = \frac{27}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Также можно воспользоваться свойством математического ожидания для гипергеометрического распределения, которое вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot \frac{K}{N}$, где $n$ — размер выборки, $K$ — число "успехов" (нестандартных деталей) в генеральной совокупности, $N$ — размер генеральной совокупности.
В нашем случае: $n=2$, $K=3$, $N=10$.
$M(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 0.6