Номер 424, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын табу үшін оның мүмкін мәндері $x_1$, $x_2$ мен сәйкес ықтималдықтары $p_1$, $p_2$-ні анықтау керек.

Есептің шарты бойынша, $X$ кездейсоқ шамасының $x_1$ мәнін қабылдау ықтималдығы $p_1 = P(X=x_1) = 0.2$.

Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болғандықтан, $p_1 + p_2 = 1$. Осыдан $p_2$ ықтималдығын табамыз: $p_2 = 1 - p_1 = 1 - 0.2 = 0.8$.

Сонымен, ықтималдықтар белгілі: $p_1 = 0.2$ және $p_2 = 0.8$.

Енді $x_1$ және $x_2$ мәндерін табу үшін математикалық күтім $M(X)$ және орташа квадраттық ауытқу $\sigma(X)$ үшін берілген мәндерді пайдаланамыз.

Математикалық күтім формуласы: $M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$. Берілгендерді орнына қойып, бірінші теңдеуді аламыз: $2.6 = x_1(0.2) + x_2(0.8)$ немесе $0.2x_1 + 0.8x_2 = 2.6 \quad (1)$.

Дисперсия $D(X)$ орташа квадраттық ауытқудың $\sigma(X)$ квадратына тең: $D(X) = \sigma(X)^2 = (0.8)^2 = 0.64$.

Дисперсияның $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ формуласын қолданамыз, мұндағы $M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 = 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2$. Берілгендерді орнына қойып, екінші теңдеуді аламыз: $0.64 = (0.2x_1^2 + 0.8x_2^2) - (2.6)^2$, $0.64 = 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 - 6.76$, $0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 = 7.4 \quad (2)$.

(1) және (2) теңдеулерінен тұратын жүйені шешеміз: $\begin{cases} 0.2x_1 + 0.8x_2 = 2.6 \\ 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 = 7.4 \end{cases}$.

Жүйені ықшамдау үшін екі теңдеуді де 5-ке көбейтеміз: $\begin{cases} x_1 + 4x_2 = 13 \\ x_1^2 + 4x_2^2 = 37 \end{cases}$.

Бірінші теңдеуден $x_1$-ді өрнектейміз: $x_1 = 13 - 4x_2$. Осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз: $(13 - 4x_2)^2 + 4x_2^2 = 37$, $169 - 104x_2 + 16x_2^2 + 4x_2^2 = 37$, $20x_2^2 - 104x_2 + 132 = 0$.

Квадраттық теңдеуді 4-ке бөліп, ықшамдаймыз: $5x_2^2 - 26x_2 + 33 = 0$.

Бұл теңдеуді дискриминант арқылы шешеміз: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 33 = 676 - 660 = 16 = 4^2$. $x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 4}{10}$.

$x_2$ үшін екі мүмкін мән шығады: $x_{2,1} = \frac{26 + 4}{10} = 3$ және $x_{2,2} = \frac{26 - 4}{10} = 2.2$.

Есептің $x_1 < x_2$ шартын тексереміз. $x_1 = 13 - 4x_2$ формуласын пайдаланып, $x_1$-дің сәйкес мәндерін табамыз:
1) Егер $x_2 = 3$ болса, онда $x_1 = 13 - 4(3) = 1$. Бұл жағдайда $1 < 3$, яғни $x_1 < x_2$ шарты орындалады.
2) Егер $x_2 = 2.2$ болса, онда $x_1 = 13 - 4(2.2) = 4.2$. Бұл жағдайда $4.2 > 2.2$, яғни $x_1 < x_2$ шарты орындалмайды.

Демек, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері: $x_1 = 1$ және $x_2 = 3$.

Жауабы: $X$ кездейсоқ шамасының таралу заңдылығы келесі кестемен анықталады: