Номер 426, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар санының

Пусть $X$ - случайная величина, равная числу очков, выпавших при броске игральной кости. Возможные значения $X$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность каждого из этих исходов одинакова и равна $p_i = 1/6$.

Математическое ожидание $E[X]$ (среднее значение) вычисляется по формуле $E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = E[X^2] - (E[X])^2$. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $E[X^2]$.

$E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$

$E[X^2] = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

Теперь можем вычислить дисперсию:

$D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

Ответ: математическое ожидание $E[X] = 3.5$, дисперсия $D[X] = \frac{35}{12}$.

2) тиынды үш рет лақтырғанда елтаңбаның түсу санының

Пусть $Y$ - случайная величина, равная числу выпадений герба ("елтаңба") при трех бросках монеты. Эта величина подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами: число испытаний $n=3$ и вероятность "успеха" (выпадения герба) в одном испытании $p=0.5$.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $E[Y] = n \cdot p$.

$E[Y] = 3 \cdot 0.5 = 1.5$

Дисперсия для биномиального распределения находится по формуле $D[Y] = n \cdot p \cdot (1-p)$.

$D[Y] = 3 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.75$

Ответ: математическое ожидание $E[Y] = 1.5$, дисперсия $D[Y] = 0.75$.

3) 1-ден 10-ға дейін кездейсоқ алынған натурал сан үшін бөлгіштер санының

Пусть $Z$ - случайная величина, равная количеству делителей натурального числа, случайно выбранного из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Так как в множестве 10 элементов, вероятность выбора любого числа равна $1/10$.

Найдем количество делителей для каждого числа от 1 до 10: для числа 1 — 1 делитель; для 2 — 2; для 3 — 2; для 4 — 3; для 5 — 2; для 6 — 4; для 7 — 2; для 8 — 4; для 9 — 3; для 10 — 4.

Составим ряд распределения для случайной величины $Z$ (количества делителей). Значения, которые может принимать $Z$: 1, 2, 3, 4. Их вероятности:

$P(Z=1)$ (для числа 1) $= 1/10$

$P(Z=2)$ (для чисел 2, 3, 5, 7) $= 4/10$

$P(Z=3)$ (для чисел 4, 9) $= 2/10$

$P(Z=4)$ (для чисел 6, 8, 10) $= 3/10$

Математическое ожидание $E[Z]$:

$E[Z] = \sum z_i p_i = 1 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{4}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1+8+6+12}{10} = \frac{27}{10} = 2.7$

Для вычисления дисперсии $D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2$ найдем $E[Z^2]$:

$E[Z^2] = \sum z_i^2 p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{10} + 2^2 \cdot \frac{4}{10} + 3^2 \cdot \frac{2}{10} + 4^2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1 + 16 + 18 + 48}{10} = \frac{83}{10} = 8.3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2 = 8.3 - (2.7)^2 = 8.3 - 7.29 = 1.01$

Ответ: математическое ожидание $E[Z] = 2.7$, дисперсия $D[Z] = 1.01$.