Номер 428, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Найдем значение выражения по частям. Сначала упростим числитель дроби.

Числитель: $4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\right)^{-1} + 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\right)^{-1}$

Используем свойство степени $a^{-1} = 1/a$:

$4 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + 3 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{12\sqrt{2} + 12\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = 12$

Теперь упростим знаменатель дроби.

Знаменатель: $\left(6^{-1} + (\sqrt{6})^{-1}\right)^{-1} + \left(1 + (\sqrt{6})^{-1}\right)^{-1}$

Упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \left(\frac{1+\sqrt{6}}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{1+\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{6( \sqrt{6}-1)}{( \sqrt{6}+1)( \sqrt{6}-1)} = \frac{6( \sqrt{6}-1)}{6-1} = \frac{6(\sqrt{6}-1)}{5}$

Второе слагаемое: $\left(1 + \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \left(\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = \frac{6-\sqrt{6}}{6-1} = \frac{6-\sqrt{6}}{5}$

Сложим полученные выражения:

$\frac{6(\sqrt{6}-1)}{5} + \frac{6-\sqrt{6}}{5} = \frac{6\sqrt{6}-6+6-\sqrt{6}}{5} = \frac{5\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

2)

Обозначим $a = \sqrt[3]{5}$. Тогда $a^2 = \sqrt[3]{25}$ и $a^3 = 5$.

Упростим остальные корни в выражении:

$\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5} = 3a$

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5} = 2a$

Первый член в скобках: $\frac{2\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 2$.

Выражение принимает вид:

$\left( 2 - \frac{5}{6+a-a^2} + \frac{1}{a+2} \right) \cdot \frac{a^2-3a}{2a+1}$

Рассмотрим знаменатель второй дроби в скобках: $6+a-a^2 = -(a^2-a-6) = -(a-3)(a+2)$.

Упростим выражение в скобках:

$2 - \frac{5}{-(a-3)(a+2)} + \frac{1}{a+2} = 2 + \frac{5}{(a-3)(a+2)} + \frac{1}{a+2}$

Приведем к общему знаменателю:

$2 + \frac{5+(a-3)}{(a-3)(a+2)} = 2 + \frac{a+2}{(a-3)(a+2)} = 2 + \frac{1}{a-3}$

$\frac{2(a-3)+1}{a-3} = \frac{2a-6+1}{a-3} = \frac{2a-5}{a-3}$

Теперь упростим второй множитель:

$\frac{a^2-3a}{2a+1} = \frac{a(a-3)}{2a+1}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{2a-5}{a-3} \cdot \frac{a(a-3)}{2a+1} = \frac{a(2a-5)}{2a+1}$

Подставим обратно $a = \sqrt[3]{5}$:

$\frac{\sqrt[3]{5}(2\sqrt[3]{5}-5)}{2\sqrt[3]{5}+1} = \frac{2\sqrt[3]{25}-5\sqrt[3]{5}}{2\sqrt[3]{5}+1}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{25}-5\sqrt[3]{5}}{2\sqrt[3]{5}+1}$

3)

Обозначим $b = \sqrt[3]{5}$. Тогда $b^2 = \sqrt[3]{25}$ и $b^3=5$.

Упростим корни в выражении: $\sqrt[3]{64}=4$, $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5} = 2b$.

Выражение принимает вид:

$\left( \frac{3}{4-b^2} + \frac{2b}{2+b} - \frac{10}{b^2} \right)^{-1} \cdot (13-4b-2b^2) + b^2$

Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $2^3 - b^3 = 8-5=3$, то есть $(2-b)(4+2b+b^2)=3$.

Рассмотрим первые два слагаемых в скобках:

$\frac{3}{4-b^2} + \frac{2b}{2+b} = \frac{3}{(2-b)(2+b)} + \frac{2b(2-b)}{(2-b)(2+b)} = \frac{3+4b-2b^2}{(2-b)(2+b)}$

Заменим $3$ на $(2-b)(4+2b+b^2)$:

$\frac{(2-b)(4+2b+b^2)}{(2-b)(2+b)} = \frac{4+2b+b^2}{2+b}$

Тогда сумма первых двух слагаемых равна:

$\frac{4+2b+b^2}{2+b} + \frac{2b}{2+b} = \frac{4+4b+b^2}{2+b} = \frac{(2+b)^2}{2+b} = 2+b$

Теперь выражение в скобках равно:

$2+b - \frac{10}{b^2} = \frac{b^2(2+b)-10}{b^2} = \frac{2b^2+b^3-10}{b^2}$

Подставим $b^3=5$:

$\frac{2b^2+5-10}{b^2} = \frac{2b^2-5}{b^2}$

Возьмем обратное значение (из-за степени -1):

$\left(\frac{2b^2-5}{b^2}\right)^{-1} = \frac{b^2}{2b^2-5}$

Заменим в знаменателе $5 = b^3$: $2b^2-5 = 2b^2-b^3 = b^2(2-b)$.

$\frac{b^2}{b^2(2-b)} = \frac{1}{2-b}$

Теперь все выражение равно:

$\frac{1}{2-b} \cdot (13-4b-2b^2) + b^2 = \frac{13-4b-2b^2}{2-b} + b^2$

Выполним деление многочлена $13-4b-2b^2$ на $2-b$:

$13-4b-2b^2 = -2b^2-4b+13 = (2-b)(2b+8)-3$.

$\frac{(2-b)(2b+8)-3}{2-b} = 2b+8 - \frac{3}{2-b}$

Подставим это в наше выражение:

$(2b+8 - \frac{3}{2-b}) + b^2$

Из формулы разности кубов мы знаем, что $\frac{3}{2-b} = 4+2b+b^2$.

$2b+8 - (4+2b+b^2) + b^2 = 2b+8-4-2b-b^2+b^2 = 4$

Ответ: $4$

4)

Найдем значение выражения по частям. Сначала первая скобка в квадрате:

$\left( \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1} \right)^2$

Упростим выражения внутри скобки: $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

$\left( (\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2$

Приведем к общему знаменателю: $\left( \frac{2-1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$

Теперь вторая скобка:

$\left( \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^{-1} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} - \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)$

Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2-1^2 = 2-1 = 1$:

$\frac{(\sqrt{2}-1)^2 - (\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(2-2\sqrt{2}+1) - (2+2\sqrt{2}+1)}{1}$

$(3-2\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$

Перемножим результаты:

$\frac{1}{8} \cdot (-4\sqrt{2}) = -\frac{4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$