Страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Вычислим значение выражения $625^{0,75} \cdot 243^{-0,4} - 8^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} + 289^{0,5}$.
Сначала преобразуем каждое слагаемое, представив основания в виде степеней простых чисел, а показатели в виде обыкновенных дробей:
$625^{0,75} = (5^4)^{\frac{3}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 5^3 = 125$.
$243^{-0,4} = (3^5)^{-\frac{2}{5}} = 3^{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
$289^{0,5} = (17^2)^{\frac{1}{2}} = 17^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 17^1 = 17$.
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$125 \cdot \frac{1}{9} - 4 \cdot 3 + 17 = \frac{125}{9} - 12 + 17 = \frac{125}{9} + 5 = \frac{125}{9} + \frac{45}{9} = \frac{125 + 45}{9} = \frac{170}{9}$.
Ответ: $\frac{170}{9}$

2) Вычислим значение выражения $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-0,25}) \cdot (16^{-0,25} + 36^{0,5})$.
Упростим выражение в первой скобке:
$(5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} = (5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (5^{1+\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
$81^{-0,25} = (3^4)^{-\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Значение первой скобки: $\frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3-5}{15} = -\frac{2}{15}$.
Упростим выражение во второй скобке:
$16^{-0,25} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
$36^{0,5} = (6^2)^{\frac{1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6^1 = 6$.
Значение второй скобки: $\frac{1}{2} + 6 = \frac{1+12}{2} = \frac{13}{2}$.
Теперь перемножим результаты:
$(-\frac{2}{15}) \cdot \frac{13}{2} = -\frac{2 \cdot 13}{15 \cdot 2} = -\frac{13}{15}$.
Ответ: $-\frac{13}{15}$

3) Вычислим значение выражения $((0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-3})^2) : ((0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4})$.
Представим десятичные дроби в виде степеней одного числа, например $0,4 = \frac{2}{5}$:
$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2 = (0,4)^2$.
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = ((\frac{2}{5})^{-1})^2 = (0,4)^{-2}$.
$2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1} = (0,4)^{-1}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(( (0,4)^2 )^{-5} \cdot ( ( (0,4)^{-2} )^{-3} )^2 ) : ( (0,4)^{-2} \cdot ( (0,4)^{-1} )^{-4} )$.
Упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(0,4)^{-10} \cdot ( (0,4)^6 )^2 = (0,4)^{-10} \cdot (0,4)^{12} = (0,4)^{-10+12} = (0,4)^2$.
Упростим делитель:
$(0,4)^{-2} \cdot (0,4)^4 = (0,4)^{-2+4} = (0,4)^2$.
Выполним деление:
$(0,4)^2 : (0,4)^2 = 1$.
Ответ: $1$

4) Вычислим значение выражения $36^{\log_6 3 + \log_{\sqrt{6}} 3 - \frac{1}{2}\log_{36} 81}$.
Упростим показатель степени, приведя все логарифмы к основанию 6:
$\log_{\sqrt{6}} 3 = \frac{\log_6 3}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_6 3}{\log_6 6^{\frac{1}{2}}} = \frac{\log_6 3}{\frac{1}{2}} = 2\log_6 3$.
$\log_{36} 81 = \frac{\log_6 81}{\log_6 36} = \frac{\log_6 3^4}{\log_6 6^2} = \frac{4\log_6 3}{2} = 2\log_6 3$.
Подставим преобразованные логарифмы в показатель степени:
$\log_6 3 + 2\log_6 3 - \frac{1}{2}(2\log_6 3) = \log_6 3 + 2\log_6 3 - \log_6 3 = 2\log_6 3$.
Теперь вычислим значение всего выражения:
$36^{2\log_6 3} = (6^2)^{2\log_6 3} = 6^{4\log_6 3} = 6^{\log_6 3^4} = 3^4 = 81$.
Ответ: $81$

5) Вычислим значение выражения $125^{\frac{1}{3}\log_5 2 - \log_{125} 2}$.
Упростим показатель степени. Приведем второй логарифм к основанию 5, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_{125} 2 = \frac{\log_5 2}{\log_5 125} = \frac{\log_5 2}{\log_5 5^3} = \frac{\log_5 2}{3} = \frac{1}{3}\log_5 2$.
Подставим это в показатель степени:
$\frac{1}{3}\log_5 2 - \frac{1}{3}\log_5 2 = 0$.
Теперь вычислим значение всего выражения:
$125^0 = 1$.
Ответ: $1$

6) Вычислим значение выражения $7^{\log_{\sqrt{7}} 4 - \log_7 2 + 2\log_7 3}$.
Упростим показатель степени, приведя все логарифмы к основанию 7:
$\log_{\sqrt{7}} 4 = \frac{\log_7 4}{\log_7 \sqrt{7}} = \frac{\log_7 4}{\log_7 7^{\frac{1}{2}}} = \frac{\log_7 4}{\frac{1}{2}} = 2\log_7 4$.
Теперь показатель степени равен:
$2\log_7 4 - \log_7 2 + 2\log_7 3$.
Используя свойства логарифмов ($k\log_b a = \log_b a^k$, $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$, $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$), объединим слагаемые:
$\log_7 4^2 - \log_7 2 + \log_7 3^2 = \log_7 16 - \log_7 2 + \log_7 9 = \log_7 \frac{16 \cdot 9}{2} = \log_7(8 \cdot 9) = \log_7 72$.
Подставим полученный показатель в исходное выражение:
$7^{\log_7 72} = 72$.
Ответ: $72$

7) Вычислим значение выражения $\sqrt{16^{\frac{1}{\log_6 4}} + 25^{\frac{1}{\log_8 5}}}$.
Упростим показатели степеней, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_6 4} = \log_4 6$.
$\frac{1}{\log_8 5} = \log_5 8$.
Выражение принимает вид:
$\sqrt{16^{\log_4 6} + 25^{\log_5 8}}$.
Упростим каждое слагаемое под корнем, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$16^{\log_4 6} = (4^2)^{\log_4 6} = 4^{2\log_4 6} = 4^{\log_4 6^2} = 6^2 = 36$.
$25^{\log_5 8} = (5^2)^{\log_5 8} = 5^{2\log_5 8} = 5^{\log_5 8^2} = 8^2 = 64$.
Подставим вычисленные значения под корень:
$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $10$

8) Вычислим значение выражения $15 \log_{\frac{1}{6}} (\sqrt[5]{6} \cdot \frac{1}{36} \cdot 11^{\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36}})$.
Решим по частям, начиная с самого внутреннего выражения.
1. Упростим $11^{\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36}}$.
Преобразуем показатель степени: $\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36} = \log_{11^{1/2}} 36^{1/3} = \frac{1/3}{1/2}\log_{11} 36 = \frac{2}{3}\log_{11} 36 = \log_{11} (36^{2/3})$.
Тогда $11^{\log_{11} (36^{2/3})} = 36^{2/3}$.
2. Упростим аргумент логарифма $\log_{\frac{1}{6}}$:
$\sqrt[5]{6} \cdot \frac{1}{36} \cdot 36^{2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1} \cdot 36^{2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1+2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1/3} = 6^{1/5} \cdot (6^2)^{-1/3} = 6^{1/5} \cdot 6^{-2/3} = 6^{1/5 - 2/3} = 6^{3/15 - 10/15} = 6^{-7/15}$.
3. Теперь вычислим логарифм:
$\log_{\frac{1}{6}} (6^{-7/15}) = \log_{6^{-1}} (6^{-7/15}) = \frac{-7/15}{-1}\log_6 6 = \frac{7}{15}$.
4. Наконец, умножим результат на 15:
$15 \cdot \frac{7}{15} = 7$.
Ответ: $7$

1)

Найдем значение выражения по частям. Сначала упростим числитель дроби.

Числитель: $4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\right)^{-1} + 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\right)^{-1}$

Используем свойство степени $a^{-1} = 1/a$:

$4 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + 3 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{12\sqrt{2} + 12\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{12(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = 12$

Теперь упростим знаменатель дроби.

Знаменатель: $\left(6^{-1} + (\sqrt{6})^{-1}\right)^{-1} + \left(1 + (\sqrt{6})^{-1}\right)^{-1}$

Упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: $\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \left(\frac{1+\sqrt{6}}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{1+\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{6( \sqrt{6}-1)}{( \sqrt{6}+1)( \sqrt{6}-1)} = \frac{6( \sqrt{6}-1)}{6-1} = \frac{6(\sqrt{6}-1)}{5}$

Второе слагаемое: $\left(1 + \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \left(\frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}}\right)^{-1} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{\sqrt{6}(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = \frac{6-\sqrt{6}}{6-1} = \frac{6-\sqrt{6}}{5}$

Сложим полученные выражения:

$\frac{6(\sqrt{6}-1)}{5} + \frac{6-\sqrt{6}}{5} = \frac{6\sqrt{6}-6+6-\sqrt{6}}{5} = \frac{5\sqrt{6}}{5} = \sqrt{6}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$

2)

Обозначим $a = \sqrt[3]{5}$. Тогда $a^2 = \sqrt[3]{25}$ и $a^3 = 5$.

Упростим остальные корни в выражении:

$\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5} = 3a$

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5} = 2a$

Первый член в скобках: $\frac{2\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = 2$.

Выражение принимает вид:

$\left( 2 - \frac{5}{6+a-a^2} + \frac{1}{a+2} \right) \cdot \frac{a^2-3a}{2a+1}$

Рассмотрим знаменатель второй дроби в скобках: $6+a-a^2 = -(a^2-a-6) = -(a-3)(a+2)$.

Упростим выражение в скобках:

$2 - \frac{5}{-(a-3)(a+2)} + \frac{1}{a+2} = 2 + \frac{5}{(a-3)(a+2)} + \frac{1}{a+2}$

Приведем к общему знаменателю:

$2 + \frac{5+(a-3)}{(a-3)(a+2)} = 2 + \frac{a+2}{(a-3)(a+2)} = 2 + \frac{1}{a-3}$

$\frac{2(a-3)+1}{a-3} = \frac{2a-6+1}{a-3} = \frac{2a-5}{a-3}$

Теперь упростим второй множитель:

$\frac{a^2-3a}{2a+1} = \frac{a(a-3)}{2a+1}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{2a-5}{a-3} \cdot \frac{a(a-3)}{2a+1} = \frac{a(2a-5)}{2a+1}$

Подставим обратно $a = \sqrt[3]{5}$:

$\frac{\sqrt[3]{5}(2\sqrt[3]{5}-5)}{2\sqrt[3]{5}+1} = \frac{2\sqrt[3]{25}-5\sqrt[3]{5}}{2\sqrt[3]{5}+1}$

Ответ: $\frac{2\sqrt[3]{25}-5\sqrt[3]{5}}{2\sqrt[3]{5}+1}$

3)

Обозначим $b = \sqrt[3]{5}$. Тогда $b^2 = \sqrt[3]{25}$ и $b^3=5$.

Упростим корни в выражении: $\sqrt[3]{64}=4$, $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5} = 2b$.

Выражение принимает вид:

$\left( \frac{3}{4-b^2} + \frac{2b}{2+b} - \frac{10}{b^2} \right)^{-1} \cdot (13-4b-2b^2) + b^2$

Упростим выражение в скобках. Используем формулу разности кубов: $2^3 - b^3 = 8-5=3$, то есть $(2-b)(4+2b+b^2)=3$.

Рассмотрим первые два слагаемых в скобках:

$\frac{3}{4-b^2} + \frac{2b}{2+b} = \frac{3}{(2-b)(2+b)} + \frac{2b(2-b)}{(2-b)(2+b)} = \frac{3+4b-2b^2}{(2-b)(2+b)}$

Заменим $3$ на $(2-b)(4+2b+b^2)$:

$\frac{(2-b)(4+2b+b^2)}{(2-b)(2+b)} = \frac{4+2b+b^2}{2+b}$

Тогда сумма первых двух слагаемых равна:

$\frac{4+2b+b^2}{2+b} + \frac{2b}{2+b} = \frac{4+4b+b^2}{2+b} = \frac{(2+b)^2}{2+b} = 2+b$

Теперь выражение в скобках равно:

$2+b - \frac{10}{b^2} = \frac{b^2(2+b)-10}{b^2} = \frac{2b^2+b^3-10}{b^2}$

Подставим $b^3=5$:

$\frac{2b^2+5-10}{b^2} = \frac{2b^2-5}{b^2}$

Возьмем обратное значение (из-за степени -1):

$\left(\frac{2b^2-5}{b^2}\right)^{-1} = \frac{b^2}{2b^2-5}$

Заменим в знаменателе $5 = b^3$: $2b^2-5 = 2b^2-b^3 = b^2(2-b)$.

$\frac{b^2}{b^2(2-b)} = \frac{1}{2-b}$

Теперь все выражение равно:

$\frac{1}{2-b} \cdot (13-4b-2b^2) + b^2 = \frac{13-4b-2b^2}{2-b} + b^2$

Выполним деление многочлена $13-4b-2b^2$ на $2-b$:

$13-4b-2b^2 = -2b^2-4b+13 = (2-b)(2b+8)-3$.

$\frac{(2-b)(2b+8)-3}{2-b} = 2b+8 - \frac{3}{2-b}$

Подставим это в наше выражение:

$(2b+8 - \frac{3}{2-b}) + b^2$

Из формулы разности кубов мы знаем, что $\frac{3}{2-b} = 4+2b+b^2$.

$2b+8 - (4+2b+b^2) + b^2 = 2b+8-4-2b-b^2+b^2 = 4$

Ответ: $4$

4)

Найдем значение выражения по частям. Сначала первая скобка в квадрате:

$\left( \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1} \right)^2$

Упростим выражения внутри скобки: $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

$\left( (\sqrt{2})^{-1} - (2\sqrt{2})^{-1} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2$

Приведем к общему знаменателю: $\left( \frac{2-1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$

Теперь вторая скобка:

$\left( \left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)^{-1} - \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)^{-1} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} - \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)$

Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2-1^2 = 2-1 = 1$:

$\frac{(\sqrt{2}-1)^2 - (\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(2-2\sqrt{2}+1) - (2+2\sqrt{2}+1)}{1}$

$(3-2\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$

Перемножим результаты:

$\frac{1}{8} \cdot (-4\sqrt{2}) = -\frac{4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$. В качестве нового основания $z$ удобно выбрать 3, так как по условию даны значения логарифмов по основанию 3: $log_3 2 = a$, $log_3 5 = b$, $log_3 7 = c$. Также будем использовать свойства логарифма: $log_k(mn) = log_k(m) + log_k(n)$ и $log_k(m^p) = p \cdot log_k(m)$.

log₂₇₀ 350

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{270} 350 = \frac{log_3 350}{log_3 270}$

Разложим числа 350 и 270 на простые множители:

$350 = 35 \times 10 = (5 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7$

$270 = 27 \times 10 = 3^3 \times 2 \times 5$

Теперь выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 350 = log_3(2 \times 5^2 \times 7) = log_3 2 + log_3 5^2 + log_3 7 = log_3 2 + 2log_3 5 + log_3 7 = a + 2b + c$

$log_3 270 = log_3(3^3 \times 2 \times 5) = log_3 3^3 + log_3 2 + log_3 5 = 3 \cdot log_3 3 + log_3 2 + log_3 5 = 3 + a + b$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{270} 350 = \frac{a + 2b + c}{3 + a + b}$

Ответ: $\frac{a + 2b + c}{a + b + 3}$

log₄₉₀ 1250

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{490} 1250 = \frac{log_3 1250}{log_3 490}$

Разложим числа 1250 и 490 на простые множители:

$1250 = 125 \times 10 = 5^3 \times (2 \times 5) = 2 \times 5^4$

$490 = 49 \times 10 = 7^2 \times (2 \times 5) = 2 \times 5 \times 7^2$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 1250 = log_3(2 \times 5^4) = log_3 2 + log_3 5^4 = log_3 2 + 4log_3 5 = a + 4b$

$log_3 490 = log_3(2 \times 5 \times 7^2) = log_3 2 + log_3 5 + log_3 7^2 = log_3 2 + log_3 5 + 2log_3 7 = a + b + 2c$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{490} 1250 = \frac{a + 4b}{a + b + 2c}$

Ответ: $\frac{a + 4b}{a + b + 2c}$

log₂₈₀ 105

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{280} 105 = \frac{log_3 105}{log_3 280}$

Разложим числа 105 и 280 на простые множители:

$105 = 3 \times 35 = 3 \times 5 \times 7$

$280 = 28 \times 10 = (4 \times 7) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 5 \times 7$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 105 = log_3(3 \times 5 \times 7) = log_3 3 + log_3 5 + log_3 7 = 1 + b + c$

$log_3 280 = log_3(2^3 \times 5 \times 7) = log_3 2^3 + log_3 5 + log_3 7 = 3log_3 2 + log_3 5 + log_3 7 = 3a + b + c$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{280} 105 = \frac{1 + b + c}{3a + b + c}$

Ответ: $\frac{1 + b + c}{3a + b + c}$

log₉₀ 315

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{90} 315 = \frac{log_3 315}{log_3 90}$

Разложим числа 315 и 90 на простые множители:

$315 = 5 \times 63 = 5 \times (9 \times 7) = 3^2 \times 5 \times 7$

$90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 2 \times 5$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 315 = log_3(3^2 \times 5 \times 7) = log_3 3^2 + log_3 5 + log_3 7 = 2 \cdot log_3 3 + log_3 5 + log_3 7 = 2 + b + c$

$log_3 90 = log_3(3^2 \times 2 \times 5) = log_3 3^2 + log_3 2 + log_3 5 = 2 \cdot log_3 3 + log_3 2 + log_3 5 = 2 + a + b$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{90} 315 = \frac{2 + b + c}{2 + a + b}$

Ответ: $\frac{2 + b + c}{2 + a + b}$