Страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Фигура ограничена кривыми $y = x^2$ и $y = x$. Ось вращения – $Oy$.

Сначала найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования.$x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.Точки пересечения имеют абсциссы $x=0$ и $x=1$. Соответствующие ординаты: $y=0$ и $y=1$.Поскольку вращение происходит вокруг оси $Oy$, мы будем интегрировать по $y$ от $0$ до $1$.Объем тела вращения находится по формуле для метода шайб (колец):$V = \pi \int_c^d (x_{внеш}^2(y) - x_{внутр}^2(y)) dy$, где $x_{внеш}(y)$ – внешняя кривая, а $x_{внутр}(y)$ – внутренняя.Выразим $x$ через $y$ для каждой кривой:Из $y=x^2$ получаем $x = \sqrt{y}$ (так как $x \ge 0$).Из $y=x$ получаем $x=y$.В интервале $y \in (0, 1)$ справедливо неравенство $\sqrt{y} > y$. Например, при $y=0.25$, $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$.Следовательно, $x_{внеш}(y) = \sqrt{y}$, а $x_{внутр}(y) = y$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{y})^2 - y^2) dy = \pi \int_0^1 (y - y^2) dy$$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \pi (\frac{3-2}{6}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{6}$

2) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 4x$ и $y = x$. Ось вращения – $Ox$.

Найдем точки пересечения:Подставим $y=x$ в уравнение параболы: $x^2 = 4x \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$.Точки пересечения: $x=0$ (и $y=0$) и $x=4$ (и $y=4$).Вращение происходит вокруг оси $Ox$, интегрируем по $x$ от $0$ до $4$.Формула для объема: $V = \pi \int_a^b (y_{внеш}^2(x) - y_{внутр}^2(x)) dx$.Выразим $y$ через $x$:Из $y^2 = 4x$ получаем $y = 2\sqrt{x}$ (для верхней ветви параболы).Из $y = x$ уже выражено.В интервале $x \in (0, 4)$ справедливо неравенство $2\sqrt{x} > x$. Например, при $x=1$, $2\sqrt{1}=2 > 1$.Следовательно, $y_{внеш}(x) = 2\sqrt{x}$, а $y_{внутр}(x) = x$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^4 ((2\sqrt{x})^2 - x^2) dx = \pi \int_0^4 (4x - x^2) dx$$V = \pi \left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \pi \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4$$V = \pi \left( (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - 0 \right) = \pi (32 - \frac{64}{3}) = \pi (\frac{96-64}{3}) = \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $V = \frac{32\pi}{3}$

3) Фигура ограничена кривыми $y = 4 - x^2$ и $x - y + 2 = 0$. Ось вращения – $Ox$.

Перепишем уравнение прямой как $y = x+2$. Найдем точки пересечения:$4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$.Корни уравнения: $(x+2)(x-1) = 0$, то есть $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.Пределы интегрирования по $x$: от $-2$ до $1$.Определим, какая функция является внешней. Возьмем пробную точку $x=0$ из интервала $(-2, 1)$:Для параболы: $y = 4 - 0^2 = 4$.Для прямой: $y = 0 + 2 = 2$.Так как $4 > 2$, парабола $y = 4-x^2$ является внешней кривой ($y_{внеш}$), а прямая $y=x+2$ – внутренней ($y_{внутр}$). Обе функции неотрицательны на отрезке $[-2, 1]$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_{-2}^1 ((4 - x^2)^2 - (x+2)^2) dx$$V = \pi \int_{-2}^1 ((16 - 8x^2 + x^4) - (x^2 + 4x + 4)) dx$$V = \pi \int_{-2}^1 (x^4 - 9x^2 - 4x + 12) dx$$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 - 2x^2 + 12x \right]_{-2}^1$$V = \pi \left( (\frac{1}{5} - 3 - 2 + 12) - (\frac{-32}{5} - 3(-8) - 2(4) + 12(-2)) \right)$$V = \pi \left( (\frac{1}{5} + 7) - (-\frac{32}{5} + 24 - 8 - 24) \right)$$V = \pi \left( \frac{36}{5} - (-\frac{32}{5} - 8) \right) = \pi \left( \frac{36}{5} - (-\frac{72}{5}) \right) = \pi (\frac{36+72}{5}) = \frac{108\pi}{5}$.

Ответ: $V = \frac{108\pi}{5}$

4) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 9x$ и $y = 3x$. Ось вращения – $Oy$.

Найдем точки пересечения:$(3x)^2 = 9x \implies 9x^2 = 9x \implies 9x(x-1) = 0$.Точки пересечения: $x=0, y=0$ и $x=1, y=3$.Вращение вокруг оси $Oy$, интегрируем по $y$ от $0$ до $3$.Выразим $x$ через $y$:Из $y^2 = 9x \implies x = \frac{y^2}{9}$.Из $y = 3x \implies x = \frac{y}{3}$.В интервале $y \in (0, 3)$ справедливо неравенство $\frac{y}{3} > \frac{y^2}{9}$. Например, при $y=1$, $\frac{1}{3} > \frac{1}{9}$.Следовательно, $x_{внеш}(y) = \frac{y}{3}$, а $x_{внутр}(y) = \frac{y^2}{9}$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^3 \left( (\frac{y}{3})^2 - (\frac{y^2}{9})^2 \right) dy = \pi \int_0^3 (\frac{y^2}{9} - \frac{y^4}{81}) dy$$V = \pi \left[ \frac{y^3}{9 \cdot 3} - \frac{y^5}{81 \cdot 5} \right]_0^3 = \pi \left[ \frac{y^3}{27} - \frac{y^5}{405} \right]_0^3$$V = \pi \left( (\frac{3^3}{27} - \frac{3^5}{405}) - 0 \right) = \pi (1 - \frac{243}{405}) = \pi (1 - \frac{3}{5}) = \frac{2\pi}{5}$.

Ответ: $V = \frac{2\pi}{5}$

5) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 2x$ и $2x + 2y - 3 = 0$. Ось вращения – $Oy$.

Выразим $x$ через $y$ для обоих уравнений.Парабола: $x = \frac{y^2}{2}$.Прямая: $2x = 3 - 2y \implies x = \frac{3-2y}{2}$.Найдем точки пересечения:$\frac{y^2}{2} = \frac{3-2y}{2} \implies y^2 = 3 - 2y \implies y^2 + 2y - 3 = 0$.Корни уравнения: $(y+3)(y-1) = 0$, то есть $y_1 = -3$ и $y_2 = 1$.Пределы интегрирования по $y$: от $-3$ до $1$.Определим внешнюю и внутреннюю кривые на интервале $(-3, 1)$. Возьмем пробную точку $y=0$:Для параболы: $x = \frac{0^2}{2} = 0$.Для прямой: $x = \frac{3-2(0)}{2} = \frac{3}{2}$.Так как $\frac{3}{2} > 0$, прямая $x = \frac{3-2y}{2}$ является внешней кривой ($x_{внеш}$), а парабола $x = \frac{y^2}{2}$ – внутренней ($x_{внутр}$).

Вычислим объем:$V = \pi \int_{-3}^1 \left( (\frac{3-2y}{2})^2 - (\frac{y^2}{2})^2 \right) dy = \frac{\pi}{4} \int_{-3}^1 ((3-2y)^2 - y^4) dy$$V = \frac{\pi}{4} \int_{-3}^1 (9 - 12y + 4y^2 - y^4) dy$$V = \frac{\pi}{4} \left[ 9y - \frac{12y^2}{2} + \frac{4y^3}{3} - \frac{y^5}{5} \right]_{-3}^1 = \frac{\pi}{4} \left[ 9y - 6y^2 + \frac{4y^3}{3} - \frac{y^5}{5} \right]_{-3}^1$$V = \frac{\pi}{4} \left( (9 - 6 + \frac{4}{3} - \frac{1}{5}) - (9(-3) - 6(-3)^2 + \frac{4(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^5}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( (3 + \frac{20-3}{15}) - (-27 - 54 - 36 + \frac{243}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( (3 + \frac{17}{15}) - (-117 + \frac{243}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{45+17}{15} - \frac{-585+243}{5} \right) = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62}{15} - (-\frac{342}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62}{15} + \frac{342 \cdot 3}{15} \right) = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62 + 1026}{15} \right) = \frac{\pi}{4} \frac{1088}{15} = \frac{272\pi}{15}$.

Ответ: $V = \frac{272\pi}{15}$

1) Для нахождения производной функции вида $y = u(x)^{v(x)}$ используется метод логарифмического дифференцирования. Сначала прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм):
$\ln y = \ln(x^{\log_5 x})$
По свойству логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$, получаем:
$\ln y = (\log_5 x) \cdot \ln x$
Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, чтобы выразить $\log_5 x$ через натуральный логарифм:
$\log_5 x = \frac{\ln x}{\ln 5}$
Подставим это в наше уравнение:
$\ln y = \frac{\ln x}{\ln 5} \cdot \ln x = \frac{(\ln x)^2}{\ln 5}$
Теперь дифференцируем обе части уравнения по переменной $x$, применяя правило дифференцирования сложной функции для левой части и правило дифференцирования степенной функции для правой:
$(\ln y)' = \left(\frac{(\ln x)^2}{\ln 5}\right)'$
$\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{1}{\ln 5} \cdot 2\ln x \cdot (\ln x)'$
$\frac{y'}{y} = \frac{2\ln x}{\ln 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Выражаем $y'$:
$y' = y \cdot \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Подставляем исходное выражение для $y = x^{\log_5 x}$:
$y' = x^{\log_5 x} \cdot \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Возвращаясь к логарифму по основанию 5, $\frac{\ln x}{\ln 5} = \log_5 x$, получаем окончательный вид производной:
$y' = x^{\log_5 x} \cdot \frac{2\log_5 x}{x}$
Ответ: $y' = \frac{2\log_5 x \cdot x^{\log_5 x}}{x}$

2) Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции). Функцию можно представить как последовательность вложенных функций: $y = \sqrt{u}$, где $u = \log_2 v$, и $v = \frac{1}{2}\sin x$.
Производная $y'$ будет равна произведению производных каждой из этих функций:
$y' = (\sqrt{u})' \cdot (\log_2 v)' \cdot v' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{v \ln 2} \cdot (\frac{1}{2}\sin x)'$
Найдем производную самой внутренней функции $v(x)$:
$v' = (\frac{1}{2}\sin x)' = \frac{1}{2}\cos x$
Теперь найдем производную $u'(x)$, подставив $v$ и $v'$:
$u' = (\log_2(\frac{1}{2}\sin x))' = \frac{1}{(\frac{1}{2}\sin x)\ln 2} \cdot (\frac{1}{2}\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x \ln 2} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\ln 2}$
Наконец, найдем производную $y'$, подставив $u$ и $u'$:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\log_2(\frac{1}{2}\sin x)}} \cdot \frac{\operatorname{ctg} x}{\ln 2}$
Ответ: $y' = \frac{\operatorname{ctg} x}{2\ln 2 \sqrt{\log_2(\frac{1}{2}\sin x)}}$

3) Эта функция является показательной функцией вида $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени $u(x) = x^2 - x - 2$. Производная такой функции находится по формуле $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.
Сначала найдем производную показателя степени $u(x)$:
$u'(x) = (x^2 - x - 2)' = (x^2)' - (x)' - (2)' = 2x - 1 - 0 = 2x - 1$
Теперь подставим $a$, $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной показательной функции:
$y' = 2^{x^2 - x - 2} \cdot \ln 2 \cdot (2x - 1)$
Ответ: $y' = (2x - 1) \cdot 2^{x^2 - x - 2} \ln 2$

4) Для нахождения производной этой сложной функции применим цепное правило несколько раз. Представим функцию в виде степеней: $f(x) = (\operatorname{ctg}((\cos x)^{1/2}))^{1/3}$.
Дифференцируем по шагам, начиная с внешней функции:
1. Производная кубического корня $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}$:
$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}} \cdot (\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))'$
2. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} v)' = -\frac{1}{\sin^2 v}$:
$(\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))' = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{\cos x})} \cdot (\sqrt{\cos x})'$
3. Производная квадратного корня $(\sqrt{w})' = \frac{1}{2\sqrt{w}}$:
$(\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)'$
4. Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.
Теперь соберем все части вместе, двигаясь от шага 4 к шагу 1.
$(\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
Подставляем это в производную котангенса:
$(\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))' = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{\cos x})} \cdot \left(-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\right) = \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x})}$
Наконец, подставляем это в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}} \cdot \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x})}$
Объединяя знаменатели, получаем окончательный ответ:
$f'(x) = \frac{\sin x}{6\sqrt{\cos x} \cdot \sin^2(\sqrt{\cos x}) \cdot \sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}}$
Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{6\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x}) \sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}}$

1) Дана функция $f(x) = 3x^3 \ln x - 36x \ln x - 7x^3 + 108x$.
Требуется найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ равна нулю. Область определения функции определяется наличием $\ln x$, поэтому $x > 0$.
Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и основные правила дифференцирования:
$f'(x) = (3x^3 \ln x)' - (36x \ln x)' - (7x^3)' + (108x)'$
Вычислим производную каждого слагаемого:
$(3x^3 \ln x)' = (3x^3)' \ln x + 3x^3 (\ln x)' = 9x^2 \ln x + 3x^3 \cdot \frac{1}{x} = 9x^2 \ln x + 3x^2$
$(36x \ln x)' = (36x)' \ln x + 36x (\ln x)' = 36 \ln x + 36x \cdot \frac{1}{x} = 36 \ln x + 36$
$(7x^3)' = 21x^2$
$(108x)' = 108$
Теперь соберем все вместе:
$f'(x) = (9x^2 \ln x + 3x^2) - (36 \ln x + 36) - 21x^2 + 108$
$f'(x) = 9x^2 \ln x + 3x^2 - 36 \ln x - 36 - 21x^2 + 108$
$f'(x) = 9x^2 \ln x - 36 \ln x - 18x^2 + 72$
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$9x^2 \ln x - 36 \ln x - 18x^2 + 72 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(9x^2 - 36)\ln x - (18x^2 - 72) = 0$
$9(x^2 - 4)\ln x - 18(x^2 - 4) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$:
$(x^2 - 4)(9\ln x - 18) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$. Так как по области определения $x > 0$, корень $x_2 = -2$ не подходит.
2) $9\ln x - 18 = 0 \Rightarrow 9\ln x = 18 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x_3 = e^2$.
Таким образом, производная равна нулю при $x=2$ и $x=e^2$.
Ответ: $2; e^2$.

2) Дана функция $f(x) = 3x^3 \ln x - 81x \ln x - 10x^3 + 324x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3x^3 \ln x)' - (81x \ln x)' - (10x^3)' + (324x)'$
Вычислим производные:
$(3x^3 \ln x)' = 9x^2 \ln x + 3x^2$
$(81x \ln x)' = 81 \ln x + 81$
$(10x^3)' = 30x^2$
$(324x)' = 324$
Соберем производную функции:
$f'(x) = (9x^2 \ln x + 3x^2) - (81 \ln x + 81) - 30x^2 + 324$
$f'(x) = 9x^2 \ln x + 3x^2 - 81 \ln x - 81 - 30x^2 + 324$
$f'(x) = 9x^2 \ln x - 81 \ln x - 27x^2 + 243$
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$9x^2 \ln x - 81 \ln x - 27x^2 + 243 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(9x^2 - 81)\ln x - (27x^2 - 243) = 0$
$9(x^2 - 9)\ln x - 27(x^2 - 9) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:
$(x^2 - 9)(9\ln x - 27) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$. Так как $x > 0$, корень $x_2 = -3$ не подходит.
2) $9\ln x - 27 = 0 \Rightarrow 9\ln x = 27 \Rightarrow \ln x = 3 \Rightarrow x_3 = e^3$.
Таким образом, производная равна нулю при $x=3$ и $x=e^3$.
Ответ: $3; e^3$.

Для того чтобы найти уравнение касательной, проведенной к графику функции в определенной точке, необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала проверим, принадлежит ли точка $(3; 0)$ графику функции $y = \sqrt{4 - 2x - x^2}$. Для этого подставим координаты точки в уравнение функции:

$y(3) = \sqrt{4 - 2(3) - (3)^2} = \sqrt{4 - 6 - 9} = \sqrt{-11}$

Полученное выражение не имеет смысла в действительных числах, так как подкоренное выражение отрицательно. Это означает, что точка $(3; 0)$ не лежит на графике функции. Следовательно, задача заключается в нахождении уравнения касательной, проведенной к графику функции из точки $(3; 0)$, не являющейся точкой касания.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4 - 2x - x^2}$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{4 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} \cdot (4 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = \frac{-2(1 + x)}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = -\frac{1 + x}{\sqrt{4 - 2x - x^2}}$

2. Нахождение точки касания

Пусть $(x_0, y_0)$ — это точка касания на графике функции, где $y_0 = f(x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$. Уравнение касательной в этой точке записывается как:

$y = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(x - x_0)$

Поскольку касательная проходит через точку $(3; 0)$, мы можем подставить эти значения ($x=3, y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0)$

Перенесем второе слагаемое в левую часть:

$\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$:

$(1 + x_0)(3 - x_0) = 4 - 2x_0 - x_0^2$

Раскроем скобки в левой части:

$3 - x_0 + 3x_0 - x_0^2 = 4 - 2x_0 - x_0^2$

$3 + 2x_0 = 4 - 2x_0$

Соберем слагаемые с $x_0$ в одной стороне, а константы — в другой:

$4x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{4}$

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{4}$.

Сначала найдем значение знаменателя производной, которое равно $y_0 = f(x_0)$:

$f(\frac{1}{4}) = \sqrt{4 - 2(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{64 - 8 - 1}{16}} = \sqrt{\frac{55}{16}} = \frac{\sqrt{55}}{4}$

Теперь вычислим угловой коэффициент:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{1 + \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{5}{\sqrt{55}} = -\frac{5\sqrt{55}}{55} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$

4. Составление уравнения касательной

Теперь у нас есть угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{55}}{11}$ и точка $(3; 0)$, через которую проходит касательная. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - 0 = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

$y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

Берілген функция: $f(x) = 20 \cdot 5^{\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) - 1}$.

Функцияның ең кіші және ең үлкен мәндерін табу үшін, алдымен дәреже көрсеткішінің мәндер облысын анықтайық. Дәреже көрсеткіші $g(x) = \sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) - 1$ өрнегімен берілген.

$a\sin\alpha + b\cos\alpha$ түріндегі тригонометриялық өрнекті түрлендіру үшін қосымша аргумент енгізу әдісін қолданамыз. Бұл өрнекті $\sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi)$ түріне келтіруге болады.

Біздің жағдайда, $\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x)$ өрнегі үшін $a=1$ және $b=\sqrt{3}$.

Амплитуданы табамыз: $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Өрнектен 2-ні жақша сыртына шығарамыз:

$\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) = 2 \left( \frac{1}{2}\sin(3x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(3x) \right)$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ және $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ екенін ескеріп, синустың қосынды формуласын $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ қолданамыз:

$2 \left( \sin(3x)\cos\frac{\pi}{3} + \cos(3x)\sin\frac{\pi}{3} \right) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Енді дәреже көрсеткіші $g(x)$ үшін өрнекті жазамыз:

$g(x) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Кез келген аргумент үшін синус функциясының мәндері $[-1; 1]$ аралығында жататыны белгілі:

$-1 \le \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.

Осыдан $g(x)$ өрнегінің мәндер облысын табамыз. Ол үшін теңсіздіктің барлық жағын 2-ге көбейтіп, одан 1-ді аламыз:

$2(-1) - 1 \le 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 \le 2(1) - 1$

$-2 - 1 \le g(x) \le 2 - 1$

$-3 \le g(x) \le 1$.

Демек, дәреже көрсеткішінің ең кіші мәні -3, ал ең үлкен мәні 1.

Енді $f(x) = 20 \cdot 5^{g(x)}$ функциясының мәндер облысын табамыз. Көрсеткіштік функцияның негізі $5 > 1$ болғандықтан, функция монотонды өспелі болады. Сондықтан, $f(x)$ функциясының ең кіші мәні $g(x)$-тің ең кіші мәніне, ал ең үлкен мәні $g(x)$-тің ең үлкен мәніне сәйкес келеді.

Функцияның ең кіші мәні:

$f_{\text{ең кіші}} = 20 \cdot 5^{-3} = 20 \cdot \frac{1}{5^3} = 20 \cdot \frac{1}{125} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25} = 0.16$.

Функцияның ең үлкен мәні:

$f_{\text{ең үлкен}} = 20 \cdot 5^{1} = 20 \cdot 5 = 100$.

Сонымен, $f(x)$ функциясының мәндер облысы $[0.16; 100]$ аралығы болады.

Есептің шарты бойынша функцияның ең кіші және ең үлкен бүтін мәндерін табу керек.

Функцияның ең кіші бүтін мәні: $[0.16; 100]$ аралығындағы ең кіші бүтін сан 1-ге тең.

Функцияның ең үлкен бүтін мәні: $[0.16; 100]$ аралығындағы ең үлкен бүтін сан 100-ге тең.

Ответ: ең кіші бүтін мәні - 1, ең үлкен бүтін мәні - 100.

1)

Для нахождения экстремумов функции $y = e^{-x} - e^{-2x}$ необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$y' = (e^{-x} - e^{-2x})' = (e^{-x})' - (e^{-2x})' = e^{-x} \cdot (-1) - e^{-2x} \cdot (-2) = -e^{-x} + 2e^{-2x}$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0$

$-e^{-x} + 2e^{-2x} = 0$

$2e^{-2x} = e^{-x}$

Поскольку $e^{-x} > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $e^{-x}$:

$\frac{2e^{-2x}}{e^{-x}} = 1$

$2e^{-2x - (-x)} = 1$

$2e^{-x} = 1$

$e^{-x} = \frac{1}{2}$

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln(e^{-x}) = \ln(\frac{1}{2})$

$-x = \ln(1) - \ln(2)$

$-x = -\ln(2)$

$x = \ln(2)$

Мы получили одну критическую точку. Исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; \ln(2))$ и $(\ln(2); +\infty)$.

Представим производную в виде $y' = e^{-2x}(2 - e^x)$. Так как множитель $e^{-2x}$ всегда положителен, знак производной определяется знаком выражения $(2 - e^x)$.

• На интервале $(-\infty; \ln(2))$, если взять, например, $x=0$, то $y'(0) = -e^0 + 2e^0 = -1+2 = 1 > 0$. Значит, функция возрастает.
• На интервале $(\ln(2); +\infty)$, если взять, например, $x=\ln(3)$, то $e^x = 3 > 2$, значит $2-e^x < 0$ и $y' < 0$. Значит, функция убывает.

Поскольку в точке $x = \ln(2)$ производная меняет знак с "+" на "-", эта точка является точкой максимума.

Найдем значение функции в этой точке (значение экстремума):

$y_{max} = y(\ln(2)) = e^{-\ln(2)} - e^{-2\ln(2)} = e^{\ln(2^{-1})} - e^{\ln(2^{-2})} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = \ln(2)$, значение максимума $y_{max} = \frac{1}{4}$.

2)

Для нахождения экстремумов функции $y = x^2 \cdot e^{-x}$ найдем ее производную.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2 \cdot e^{-x})' = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})' = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$.

Вынесем общий множитель $xe^{-x}$ за скобки:

$y' = xe^{-x}(2 - x)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$y' = 0$

$xe^{-x}(2 - x) = 0$

Так как $e^{-x}$ никогда не равно нулю, то получаем:

$x(2 - x) = 0$

Отсюда находим две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знак $y'$ определяется знаком выражения $x(2-x)$, так как $e^{-x} > 0$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: $x < 0$, $2-x > 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$: $x > 0$, $2-x > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$: $x > 0$, $2-x < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

Анализируя смену знаков производной, делаем выводы:

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

Найдем значения функции в этих точках (значения экстремумов):

Значение в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0^2 \cdot e^{-0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Значение в точке максимума: $y_{max} = y(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, значение минимума $y_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 2$, значение максимума $y_{max} = \frac{4}{e^2}$.

Есепті шешу үшін екі негізгі қадамды орындаймыз: біріншіден, берілген периметр бойынша ауданы ең үлкен болатын тіктөртбұрыштың түрін және өлшемдерін анықтаймыз, екіншіден, сол тіктөртбұрышты іштей сызуға болатын дөңгелектің радиусын табамыз.

1. Ауданы ең үлкен тіктөртбұрышты анықтау
Тіктөртбұрыштың қабырғаларын $a$ және $b$ деп белгілейік. Оның периметрі $P = 2(a + b)$.
Есептің шарты бойынша $P = 56$ см, олай болса:
$2(a + b) = 56$
$a + b = 28$
Тіктөртбұрыштың ауданы $S = a \cdot b$.
Белгіленген периметрге ие тіктөртбұрыштардың ішінде ауданы ең үлкен болатыны – шаршы (квадрат), яғни оның барлық қабырғалары тең ($a=b$).
Осыдан, $a + a = 28 \implies 2a = 28 \implies a = 14$ см.
Демек, біздің жағдайдағы тіктөртбұрыш – бұл қабырғасы 14 см-ге тең шаршы.

2. Дөңгелектің радиусын табу
Шаршы дөңгелекке іштей сызылған кезде, шаршының диагоналі ($d$) дөңгелектің диаметріне ($D=2R$) тең болады. Мұндағы $R$ – дөңгелектің радиусы.

Шаршының диагоналін Пифагор теоремасы арқылы табамыз:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
$a = 14$ см екенін ескеріп, мәнін орнына қоямыз:
$d = 14\sqrt{2}$ см.
Дөңгелектің диаметрі шаршының диагоналіне тең болғандықтан:
$D = d = 14\sqrt{2}$ см.
Енді дөңгелектің радиусын есептейміз:
$R = \frac{D}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

Ответ: $7\sqrt{2}$ см.

Нүктенің 7 с-та өткен жолын табыңдар.

Нүктенің белгілі бір уақыт аралығында жүріп өткен жолын табу үшін, жылдамдық функциясын сол аралықта интегралдау қажет. Жол $s$ - бұл жылдамдық $v(t)$ функциясының $t=0$-ден $t=7$ с-қа дейінгі аралықтағы анықталған интегралы. Бастапқы уақыт $t_0=0$ деп есептеледі.

$s = \int_{0}^{7} v(t) dt = \int_{0}^{7} \sqrt[3]{1+t} dt$

Бұл интегралды есептеу үшін $u = 1+t$ айнымалысын алмастыру әдісін қолданамыз. Онда $du = dt$ болады. Интегралдау шектерін жаңа айнымалы үшін анықтаймыз:

егер $t = 0$ болса, онда $u = 1+0 = 1$

егер $t = 7$ болса, онда $u = 1+7 = 8$

Алмастырудан кейін интеграл келесі түрге келеді:

$s = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} du = \int_{1}^{8} u^{1/3} du$

Дәрежелік функцияның интегралын табу формуласын $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ қолданамыз:

$s = \left[ \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{u^{4/3}}{4/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{4} u^{4/3} \right]_{1}^{8}$

Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, анықталған интегралдың мәнін есептейміз:

$s = \frac{3}{4} (8^{4/3}) - \frac{3}{4} (1^{4/3}) = \frac{3}{4} ((\sqrt[3]{8})^4) - \frac{3}{4} (1) = \frac{3}{4} (2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25$

Ответ: $11.25$.

Нүктенің $t=7$ с болғандағы үдеуін есептеңдер.

Үдеу $a(t)$ - бұл жылдамдық $v(t)$ функциясының уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысы:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(\sqrt[3]{1+t})$

Туындыны табуды жеңілдету үшін жылдамдық функциясын дәрежелік түрде жазып аламыз: $v(t) = (1+t)^{1/3}$.

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін $(u(v))' = u'(v) \cdot v'$ қолданып, туындыны табамыз:

$a(t) = \frac{1}{3}(1+t)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (1+t)' = \frac{1}{3}(1+t)^{-2/3} \cdot 1 = \frac{1}{3(1+t)^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1+t)^2}}$

Енді $t=7$ с кезіндегі үдеудің мәнін табамыз:

$a(7) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1+7)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}}$

$\sqrt[3]{64} = 4$ болғандықтан:

$a(7) = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2x)dx$ используем формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$.
$\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2x)dx = \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4x)}{2}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(4x))dx$
Найдем первообразную:$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right)$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(-\pi - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot (-\pi))\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi)\right) - \left(-\pi - \frac{1}{4}\sin(-4\pi)\right) \right)$
Так как $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(-4\pi) = 0$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) - (-\pi - 0) \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x dx$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx$
Найдем первообразную и применим пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} \left[ \cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= -\frac{1}{4} \left( \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(2 \cdot 0) \right) = -\frac{1}{4} (\cos(\pi) - \cos(0))$
$= -\frac{1}{4} (-1 - 1) = -\frac{1}{4} (-2) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 3x \cdot \cos 2x dx$ используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.
$\cos 3x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(3x+2x) + \cos(3x-2x)) = \frac{1}{2}(\cos(5x) + \cos x)$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x)dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}\sin 5x + \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{5}\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{5}\sin(0) + \sin(0) \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}\sin(\frac{5\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{3}) \right)$
Так как $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{5\sqrt{3}}{10} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4\sqrt{3}}{10} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin 2x \cdot \cos 3x dx$ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.
$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)$.
$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos 5x - (-\cos x) \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \cos x - \frac{1}{5}\cos 5x \right]_{0}^{\pi}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left( \cos(\pi) - \frac{1}{5}\cos(5\pi) \right) - \left( \cos(0) - \frac{1}{5}\cos(0) \right) \right)$
Так как $\cos(\pi) = -1$, $\cos(5\pi) = -1$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left( -1 - \frac{1}{5}(-1) \right) - \left( 1 - \frac{1}{5}(1) \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left( -1 + \frac{1}{5} \right) - \left( 1 - \frac{1}{5} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{8}{5} \right) = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$