Номер 442, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

442. Фигураны берілген ось арқылы айналдырғанда пайда болған дененің көлемін табыңдар:

1) $y = x^2, y = x, Oy;$

2) $y^2 = 4x, y = x, Ox;$

3) $y = 4 - x^2, x - y + 2 = 0, Ox;$

4) $y^2 = 9x, y = 3x, Oy;$

5) $y^2 = 2x, 2x + 2y - 3 = 0, Oy.$

1) Фигура ограничена кривыми $y = x^2$ и $y = x$. Ось вращения – $Oy$.

Сначала найдем точки пересечения кривых, чтобы определить пределы интегрирования.$x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.Точки пересечения имеют абсциссы $x=0$ и $x=1$. Соответствующие ординаты: $y=0$ и $y=1$.Поскольку вращение происходит вокруг оси $Oy$, мы будем интегрировать по $y$ от $0$ до $1$.Объем тела вращения находится по формуле для метода шайб (колец):$V = \pi \int_c^d (x_{внеш}^2(y) - x_{внутр}^2(y)) dy$, где $x_{внеш}(y)$ – внешняя кривая, а $x_{внутр}(y)$ – внутренняя.Выразим $x$ через $y$ для каждой кривой:Из $y=x^2$ получаем $x = \sqrt{y}$ (так как $x \ge 0$).Из $y=x$ получаем $x=y$.В интервале $y \in (0, 1)$ справедливо неравенство $\sqrt{y} > y$. Например, при $y=0.25$, $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$.Следовательно, $x_{внеш}(y) = \sqrt{y}$, а $x_{внутр}(y) = y$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^1 ((\sqrt{y})^2 - y^2) dy = \pi \int_0^1 (y - y^2) dy$$V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_0^1 = \pi \left( (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - 0 \right) = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \pi (\frac{3-2}{6}) = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{6}$

2) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 4x$ и $y = x$. Ось вращения – $Ox$.

Найдем точки пересечения:Подставим $y=x$ в уравнение параболы: $x^2 = 4x \implies x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$.Точки пересечения: $x=0$ (и $y=0$) и $x=4$ (и $y=4$).Вращение происходит вокруг оси $Ox$, интегрируем по $x$ от $0$ до $4$.Формула для объема: $V = \pi \int_a^b (y_{внеш}^2(x) - y_{внутр}^2(x)) dx$.Выразим $y$ через $x$:Из $y^2 = 4x$ получаем $y = 2\sqrt{x}$ (для верхней ветви параболы).Из $y = x$ уже выражено.В интервале $x \in (0, 4)$ справедливо неравенство $2\sqrt{x} > x$. Например, при $x=1$, $2\sqrt{1}=2 > 1$.Следовательно, $y_{внеш}(x) = 2\sqrt{x}$, а $y_{внутр}(x) = x$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^4 ((2\sqrt{x})^2 - x^2) dx = \pi \int_0^4 (4x - x^2) dx$$V = \pi \left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \pi \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4$$V = \pi \left( (2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3}) - 0 \right) = \pi (32 - \frac{64}{3}) = \pi (\frac{96-64}{3}) = \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $V = \frac{32\pi}{3}$

3) Фигура ограничена кривыми $y = 4 - x^2$ и $x - y + 2 = 0$. Ось вращения – $Ox$.

Перепишем уравнение прямой как $y = x+2$. Найдем точки пересечения:$4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$.Корни уравнения: $(x+2)(x-1) = 0$, то есть $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.Пределы интегрирования по $x$: от $-2$ до $1$.Определим, какая функция является внешней. Возьмем пробную точку $x=0$ из интервала $(-2, 1)$:Для параболы: $y = 4 - 0^2 = 4$.Для прямой: $y = 0 + 2 = 2$.Так как $4 > 2$, парабола $y = 4-x^2$ является внешней кривой ($y_{внеш}$), а прямая $y=x+2$ – внутренней ($y_{внутр}$). Обе функции неотрицательны на отрезке $[-2, 1]$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_{-2}^1 ((4 - x^2)^2 - (x+2)^2) dx$$V = \pi \int_{-2}^1 ((16 - 8x^2 + x^4) - (x^2 + 4x + 4)) dx$$V = \pi \int_{-2}^1 (x^4 - 9x^2 - 4x + 12) dx$$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 3x^3 - 2x^2 + 12x \right]_{-2}^1$$V = \pi \left( (\frac{1}{5} - 3 - 2 + 12) - (\frac{-32}{5} - 3(-8) - 2(4) + 12(-2)) \right)$$V = \pi \left( (\frac{1}{5} + 7) - (-\frac{32}{5} + 24 - 8 - 24) \right)$$V = \pi \left( \frac{36}{5} - (-\frac{32}{5} - 8) \right) = \pi \left( \frac{36}{5} - (-\frac{72}{5}) \right) = \pi (\frac{36+72}{5}) = \frac{108\pi}{5}$.

Ответ: $V = \frac{108\pi}{5}$

4) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 9x$ и $y = 3x$. Ось вращения – $Oy$.

Найдем точки пересечения:$(3x)^2 = 9x \implies 9x^2 = 9x \implies 9x(x-1) = 0$.Точки пересечения: $x=0, y=0$ и $x=1, y=3$.Вращение вокруг оси $Oy$, интегрируем по $y$ от $0$ до $3$.Выразим $x$ через $y$:Из $y^2 = 9x \implies x = \frac{y^2}{9}$.Из $y = 3x \implies x = \frac{y}{3}$.В интервале $y \in (0, 3)$ справедливо неравенство $\frac{y}{3} > \frac{y^2}{9}$. Например, при $y=1$, $\frac{1}{3} > \frac{1}{9}$.Следовательно, $x_{внеш}(y) = \frac{y}{3}$, а $x_{внутр}(y) = \frac{y^2}{9}$.

Вычислим объем:$V = \pi \int_0^3 \left( (\frac{y}{3})^2 - (\frac{y^2}{9})^2 \right) dy = \pi \int_0^3 (\frac{y^2}{9} - \frac{y^4}{81}) dy$$V = \pi \left[ \frac{y^3}{9 \cdot 3} - \frac{y^5}{81 \cdot 5} \right]_0^3 = \pi \left[ \frac{y^3}{27} - \frac{y^5}{405} \right]_0^3$$V = \pi \left( (\frac{3^3}{27} - \frac{3^5}{405}) - 0 \right) = \pi (1 - \frac{243}{405}) = \pi (1 - \frac{3}{5}) = \frac{2\pi}{5}$.

Ответ: $V = \frac{2\pi}{5}$

5) Фигура ограничена кривыми $y^2 = 2x$ и $2x + 2y - 3 = 0$. Ось вращения – $Oy$.

Выразим $x$ через $y$ для обоих уравнений.Парабола: $x = \frac{y^2}{2}$.Прямая: $2x = 3 - 2y \implies x = \frac{3-2y}{2}$.Найдем точки пересечения:$\frac{y^2}{2} = \frac{3-2y}{2} \implies y^2 = 3 - 2y \implies y^2 + 2y - 3 = 0$.Корни уравнения: $(y+3)(y-1) = 0$, то есть $y_1 = -3$ и $y_2 = 1$.Пределы интегрирования по $y$: от $-3$ до $1$.Определим внешнюю и внутреннюю кривые на интервале $(-3, 1)$. Возьмем пробную точку $y=0$:Для параболы: $x = \frac{0^2}{2} = 0$.Для прямой: $x = \frac{3-2(0)}{2} = \frac{3}{2}$.Так как $\frac{3}{2} > 0$, прямая $x = \frac{3-2y}{2}$ является внешней кривой ($x_{внеш}$), а парабола $x = \frac{y^2}{2}$ – внутренней ($x_{внутр}$).

Вычислим объем:$V = \pi \int_{-3}^1 \left( (\frac{3-2y}{2})^2 - (\frac{y^2}{2})^2 \right) dy = \frac{\pi}{4} \int_{-3}^1 ((3-2y)^2 - y^4) dy$$V = \frac{\pi}{4} \int_{-3}^1 (9 - 12y + 4y^2 - y^4) dy$$V = \frac{\pi}{4} \left[ 9y - \frac{12y^2}{2} + \frac{4y^3}{3} - \frac{y^5}{5} \right]_{-3}^1 = \frac{\pi}{4} \left[ 9y - 6y^2 + \frac{4y^3}{3} - \frac{y^5}{5} \right]_{-3}^1$$V = \frac{\pi}{4} \left( (9 - 6 + \frac{4}{3} - \frac{1}{5}) - (9(-3) - 6(-3)^2 + \frac{4(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^5}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( (3 + \frac{20-3}{15}) - (-27 - 54 - 36 + \frac{243}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( (3 + \frac{17}{15}) - (-117 + \frac{243}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{45+17}{15} - \frac{-585+243}{5} \right) = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62}{15} - (-\frac{342}{5}) \right)$$V = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62}{15} + \frac{342 \cdot 3}{15} \right) = \frac{\pi}{4} \left( \frac{62 + 1026}{15} \right) = \frac{\pi}{4} \frac{1088}{15} = \frac{272\pi}{15}$.

Ответ: $V = \frac{272\pi}{15}$