Номер 441, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = x^2, x = y^2$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $x = y^2$, сначала найдем точки их пересечения. Уравнение $x = y^2$ можно переписать как $y = \pm\sqrt{x}$. Так как фигура, ограниченная данными кривыми, находится в первом квадранте, мы будем рассматривать ветвь параболы $y = \sqrt{x}$. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $x^2 = \sqrt{x}$ Возведем обе части в квадрат: $(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^4 = x$ $x^4 - x = 0$ $x(x^3 - 1) = 0$ Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Найдем соответствующие значения $y$: При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$. При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения $(1, 1)$.

Площадь фигуры будем вычислять с помощью определенного интеграла по оси $x$ в пределах от $0$ до $1$. В этом интервале необходимо определить, какая из функций является верхней (задает верхнюю границу области), а какая - нижней. Для этого возьмем любую пробную точку из интервала $(0, 1)$, например, $x = 1/4$: Для кривой $y = x^2$: $y = (1/4)^2 = 1/16$. Для кривой $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{1/4} = 1/2$. Поскольку $1/2 > 1/16$, функция $y = \sqrt{x}$ является верхней ($f_{top}(x)$), а $y = x^2$ - нижней ($f_{bottom}(x)$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f_{top}(x) - f_{bottom}(x)) dx$ $S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) dx$ Найдем первообразную для подынтегральной функции: $\int (x^{1/2} - x^2) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3$ Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{1}{3}(0)^3\right) = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

2) $y = x^2 + 1, y = -\frac{1}{9}x^2 + 1, y = x + 3$

Фигура ограничена тремя кривыми: двумя параболами и прямой. Найдем их точки пересечения. 1. $y = x^2+1$ и $y = -\frac{1}{9}x^2+1$: $x^2+1 = -\frac{1}{9}x^2+1 \implies \frac{10}{9}x^2=0 \implies x=0$. Точка $(0, 1)$. 2. $y = x^2+1$ и $y=x+3$: $x^2+1 = x+3 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Точки $(-1, 2)$ и $(2, 5)$. 3. $y = -\frac{1}{9}x^2+1$ и $y=x+3$: $-\frac{1}{9}x^2+1 = x+3 \implies x^2+9x+18=0 \implies (x+3)(x+6)=0$. Точки $(-3, 0)$ и $(-6, -3)$.

Анализ расположения кривых показывает, что искомая область ограничена сверху прямой $y = x + 3$. Нижняя граница области состоит из двух частей: - на отрезке $[-3, 0]$ нижняя граница — парабола $y = -\frac{1}{9}x^2+1$. - на отрезке $[0, 2]$ нижняя граница — парабола $y = x^2+1$. Точка $x=0$ является точкой, где нижняя граница переходит с одной параболы на другую. Таким образом, для вычисления площади необходимо разбить интеграл на две части.

$S = S_1 + S_2 = \int_{-3}^{0} \left((x+3) - \left(-\frac{1}{9}x^2+1\right)\right)dx + \int_{0}^{2} \left((x+3) - (x^2+1)\right)dx$ $S = \int_{-3}^{0} \left(\frac{1}{9}x^2 + x + 2\right)dx + \int_{0}^{2} \left(-x^2 + x + 2\right)dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \left[ \frac{1}{9}\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^3}{27} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-3}^{0}$ $S_1 = (0) - \left(\frac{(-3)^3}{27} + \frac{(-3)^2}{2} + 2(-3)\right) = -\left(\frac{-27}{27} + \frac{9}{2} - 6\right) = -(-1 + 4.5 - 6) = -(-2.5) = 2.5 = \frac{5}{2}$.

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{2}$ $S_2 = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2)\right) - (0) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18-8}{3} = \frac{10}{3}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{35}{6}$.

Ответ: $35/6$

3) $y^2 = x, y = 9x$

Найдем точки пересечения параболы $y^2=x$ и прямой $y=9x$. Подставим $y=9x$ в уравнение параболы: $(9x)^2 = x$ $81x^2 = x$ $81x^2 - x = 0$ $x(81x - 1) = 0$ Решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/81$. Соответствующие значения $y$: При $x_1=0$, $y_1=9(0)=0$. Точка $(0,0)$. При $x_2=1/81$, $y_2=9(1/81)=1/9$. Точка $(1/81, 1/9)$. Ограниченная область находится в первом квадранте.

Для вычисления площади удобнее интегрировать по оси $y$. Выразим $x$ через $y$: $x = y^2$ $x = y/9$ Пределы интегрирования по $y$ будут от $0$ до $1/9$. В этом интервале определим, какая функция является правой ($x_{right}$), а какая левой ($x_{left}$). Возьмем пробную точку $y=1/10$: Для $x=y^2$: $x=(1/10)^2 = 1/100$. Для $x=y/9$: $x=(1/10)/9 = 1/90$. Так как $1/90 > 1/100$, функция $x=y/9$ является правой.

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{c}^{d} (x_{right}(y) - x_{left}(y)) dy$ $S = \int_{0}^{1/9} \left(\frac{y}{9} - y^2\right) dy$ Найдем первообразную: $\int \left(\frac{y}{9} - y^2\right) dy = \frac{1}{9}\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} = \frac{y^2}{18} - \frac{y^3}{3}$ Вычислим определенный интеграл: $S = \left[ \frac{y^2}{18} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1/9} = \left(\frac{(1/9)^2}{18} - \frac{(1/9)^3}{3}\right) - 0 = \frac{1/81}{18} - \frac{1/729}{3} = \frac{1}{1458} - \frac{1}{2187}$ Приведем к общему знаменателю. $1458 = 2 \cdot 3^6$, $2187 = 3^7$. Общий знаменатель $2 \cdot 3^7 = 4374$. $S = \frac{3}{4374} - \frac{2}{4374} = \frac{1}{4374}$.

Ответ: $1/4374$

4) $y = -\frac{1}{x^2}, y = x^3, y = -4$

Найдем точки пересечения заданных кривых. 1. $y = -1/x^2$ и $y = -4$: $-1/x^2 = -4 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2$. Точки $(-1/2, -4)$ и $(1/2, -4)$. 2. $y = x^3$ и $y = -4$: $x^3 = -4 \implies x = -\sqrt[3]{4}$. Точка $(-\sqrt[3]{4}, -4)$. 3. $y = -1/x^2$ и $y = x^3$: $-1/x^2 = x^3 \implies x^5 = -1 \implies x = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Анализ взаимного расположения кривых показывает, что искомая фигура представляет собой единую область, ограниченную снизу прямой $y=-4$. Верхняя граница области состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(-1,-1)$: - На отрезке $[-\sqrt[3]{4}, -1]$ верхняя граница — кубическая парабола $y = x^3$. - На отрезке $[-1, -1/2]$ верхняя граница — кривая $y = -1/x^2$. Площадь фигуры найдем как сумму двух интегралов.

$S = S_1 + S_2 = \int_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} (x^3 - (-4)) dx + \int_{-1}^{-1/2} \left(-\frac{1}{x^2} - (-4)\right) dx$ $S = \int_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} (x^3 + 4) dx + \int_{-1}^{-1/2} (4 - x^{-2}) dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} + 4x \right]_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} = \left(\frac{(-1)^4}{4} + 4(-1)\right) - \left(\frac{(-\sqrt[3]{4})^4}{4} + 4(-\sqrt[3]{4})\right)$ $S_1 = \left(\frac{1}{4} - 4\right) - \left(\frac{4^{4/3}}{4} - 4\sqrt[3]{4}\right) = -\frac{15}{4} - (4^{1/3} - 4 \cdot 4^{1/3}) = -\frac{15}{4} - (-3\sqrt[3]{4}) = 3\sqrt[3]{4} - \frac{15}{4}$.

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \left[ 4x - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{-1}^{-1/2} = \left[ 4x + \frac{1}{x} \right]_{-1}^{-1/2}$ $S_2 = \left(4\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{-1/2}\right) - \left(4(-1) + \frac{1}{-1}\right) = (-2 - 2) - (-4 - 1) = -4 - (-5) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{15}{4} + 1 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{11}{4}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{4} - \frac{11}{4}$