Номер 443, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для нахождения производной функции вида $y = u(x)^{v(x)}$ используется метод логарифмического дифференцирования. Сначала прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм):
$\ln y = \ln(x^{\log_5 x})$
По свойству логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$, получаем:
$\ln y = (\log_5 x) \cdot \ln x$
Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, чтобы выразить $\log_5 x$ через натуральный логарифм:
$\log_5 x = \frac{\ln x}{\ln 5}$
Подставим это в наше уравнение:
$\ln y = \frac{\ln x}{\ln 5} \cdot \ln x = \frac{(\ln x)^2}{\ln 5}$
Теперь дифференцируем обе части уравнения по переменной $x$, применяя правило дифференцирования сложной функции для левой части и правило дифференцирования степенной функции для правой:
$(\ln y)' = \left(\frac{(\ln x)^2}{\ln 5}\right)'$
$\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{1}{\ln 5} \cdot 2\ln x \cdot (\ln x)'$
$\frac{y'}{y} = \frac{2\ln x}{\ln 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Выражаем $y'$:
$y' = y \cdot \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Подставляем исходное выражение для $y = x^{\log_5 x}$:
$y' = x^{\log_5 x} \cdot \frac{2\ln x}{x\ln 5}$
Возвращаясь к логарифму по основанию 5, $\frac{\ln x}{\ln 5} = \log_5 x$, получаем окончательный вид производной:
$y' = x^{\log_5 x} \cdot \frac{2\log_5 x}{x}$
Ответ: $y' = \frac{2\log_5 x \cdot x^{\log_5 x}}{x}$

2) Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции). Функцию можно представить как последовательность вложенных функций: $y = \sqrt{u}$, где $u = \log_2 v$, и $v = \frac{1}{2}\sin x$.
Производная $y'$ будет равна произведению производных каждой из этих функций:
$y' = (\sqrt{u})' \cdot (\log_2 v)' \cdot v' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{v \ln 2} \cdot (\frac{1}{2}\sin x)'$
Найдем производную самой внутренней функции $v(x)$:
$v' = (\frac{1}{2}\sin x)' = \frac{1}{2}\cos x$
Теперь найдем производную $u'(x)$, подставив $v$ и $v'$:
$u' = (\log_2(\frac{1}{2}\sin x))' = \frac{1}{(\frac{1}{2}\sin x)\ln 2} \cdot (\frac{1}{2}\cos x) = \frac{\cos x}{\sin x \ln 2} = \frac{\operatorname{ctg} x}{\ln 2}$
Наконец, найдем производную $y'$, подставив $u$ и $u'$:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\log_2(\frac{1}{2}\sin x)}} \cdot \frac{\operatorname{ctg} x}{\ln 2}$
Ответ: $y' = \frac{\operatorname{ctg} x}{2\ln 2 \sqrt{\log_2(\frac{1}{2}\sin x)}}$

3) Эта функция является показательной функцией вида $y = a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени $u(x) = x^2 - x - 2$. Производная такой функции находится по формуле $(a^u)' = a^u \cdot \ln a \cdot u'$.
Сначала найдем производную показателя степени $u(x)$:
$u'(x) = (x^2 - x - 2)' = (x^2)' - (x)' - (2)' = 2x - 1 - 0 = 2x - 1$
Теперь подставим $a$, $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для производной показательной функции:
$y' = 2^{x^2 - x - 2} \cdot \ln 2 \cdot (2x - 1)$
Ответ: $y' = (2x - 1) \cdot 2^{x^2 - x - 2} \ln 2$

4) Для нахождения производной этой сложной функции применим цепное правило несколько раз. Представим функцию в виде степеней: $f(x) = (\operatorname{ctg}((\cos x)^{1/2}))^{1/3}$.
Дифференцируем по шагам, начиная с внешней функции:
1. Производная кубического корня $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}$:
$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}} \cdot (\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))'$
2. Производная котангенса $(\operatorname{ctg} v)' = -\frac{1}{\sin^2 v}$:
$(\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))' = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{\cos x})} \cdot (\sqrt{\cos x})'$
3. Производная квадратного корня $(\sqrt{w})' = \frac{1}{2\sqrt{w}}$:
$(\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)'$
4. Производная косинуса $(\cos x)' = -\sin x$.
Теперь соберем все части вместе, двигаясь от шага 4 к шагу 1.
$(\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
Подставляем это в производную котангенса:
$(\operatorname{ctg}(\sqrt{\cos x}))' = -\frac{1}{\sin^2(\sqrt{\cos x})} \cdot \left(-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}\right) = \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x})}$
Наконец, подставляем это в выражение для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}} \cdot \frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x})}$
Объединяя знаменатели, получаем окончательный ответ:
$f'(x) = \frac{\sin x}{6\sqrt{\cos x} \cdot \sin^2(\sqrt{\cos x}) \cdot \sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}}$
Ответ: $f'(x) = \frac{\sin x}{6\sqrt{\cos x} \sin^2(\sqrt{\cos x}) \sqrt[3]{\operatorname{ctg}^2(\sqrt{\cos x})}}$