Номер 449, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Нүктенің 7 с-та өткен жолын табыңдар.

Нүктенің белгілі бір уақыт аралығында жүріп өткен жолын табу үшін, жылдамдық функциясын сол аралықта интегралдау қажет. Жол $s$ - бұл жылдамдық $v(t)$ функциясының $t=0$-ден $t=7$ с-қа дейінгі аралықтағы анықталған интегралы. Бастапқы уақыт $t_0=0$ деп есептеледі.

$s = \int_{0}^{7} v(t) dt = \int_{0}^{7} \sqrt[3]{1+t} dt$

Бұл интегралды есептеу үшін $u = 1+t$ айнымалысын алмастыру әдісін қолданамыз. Онда $du = dt$ болады. Интегралдау шектерін жаңа айнымалы үшін анықтаймыз:

егер $t = 0$ болса, онда $u = 1+0 = 1$

егер $t = 7$ болса, онда $u = 1+7 = 8$

Алмастырудан кейін интеграл келесі түрге келеді:

$s = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} du = \int_{1}^{8} u^{1/3} du$

Дәрежелік функцияның интегралын табу формуласын $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ қолданамыз:

$s = \left[ \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{u^{4/3}}{4/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{4} u^{4/3} \right]_{1}^{8}$

Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, анықталған интегралдың мәнін есептейміз:

$s = \frac{3}{4} (8^{4/3}) - \frac{3}{4} (1^{4/3}) = \frac{3}{4} ((\sqrt[3]{8})^4) - \frac{3}{4} (1) = \frac{3}{4} (2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4} = 11.25$

Ответ: $11.25$.

Нүктенің $t=7$ с болғандағы үдеуін есептеңдер.

Үдеу $a(t)$ - бұл жылдамдық $v(t)$ функциясының уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысы:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(\sqrt[3]{1+t})$

Туындыны табуды жеңілдету үшін жылдамдық функциясын дәрежелік түрде жазып аламыз: $v(t) = (1+t)^{1/3}$.

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін $(u(v))' = u'(v) \cdot v'$ қолданып, туындыны табамыз:

$a(t) = \frac{1}{3}(1+t)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (1+t)' = \frac{1}{3}(1+t)^{-2/3} \cdot 1 = \frac{1}{3(1+t)^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1+t)^2}}$

Енді $t=7$ с кезіндегі үдеудің мәнін табамыз:

$a(7) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(1+7)^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}}$

$\sqrt[3]{64} = 4$ болғандықтан:

$a(7) = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$.