Номер 445, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы найти уравнение касательной, проведенной к графику функции в определенной точке, необходимо выполнить следующие шаги.

Сначала проверим, принадлежит ли точка $(3; 0)$ графику функции $y = \sqrt{4 - 2x - x^2}$. Для этого подставим координаты точки в уравнение функции:

$y(3) = \sqrt{4 - 2(3) - (3)^2} = \sqrt{4 - 6 - 9} = \sqrt{-11}$

Полученное выражение не имеет смысла в действительных числах, так как подкоренное выражение отрицательно. Это означает, что точка $(3; 0)$ не лежит на графике функции. Следовательно, задача заключается в нахождении уравнения касательной, проведенной к графику функции из точки $(3; 0)$, не являющейся точкой касания.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{4 - 2x - x^2}$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{4 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} \cdot (4 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = \frac{-2(1 + x)}{2\sqrt{4 - 2x - x^2}} = -\frac{1 + x}{\sqrt{4 - 2x - x^2}}$

2. Нахождение точки касания

Пусть $(x_0, y_0)$ — это точка касания на графике функции, где $y_0 = f(x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$. Уравнение касательной в этой точке записывается как:

$y = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(x - x_0)$

Поскольку касательная проходит через точку $(3; 0)$, мы можем подставить эти значения ($x=3, y=0$) в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2} - \frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0)$

Перенесем второе слагаемое в левую часть:

$\frac{1 + x_0}{\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}}(3 - x_0) = \sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{4 - 2x_0 - x_0^2}$:

$(1 + x_0)(3 - x_0) = 4 - 2x_0 - x_0^2$

Раскроем скобки в левой части:

$3 - x_0 + 3x_0 - x_0^2 = 4 - 2x_0 - x_0^2$

$3 + 2x_0 = 4 - 2x_0$

Соберем слагаемые с $x_0$ в одной стороне, а константы — в другой:

$4x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{4}$

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{4}$.

Сначала найдем значение знаменателя производной, которое равно $y_0 = f(x_0)$:

$f(\frac{1}{4}) = \sqrt{4 - 2(\frac{1}{4}) - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{64 - 8 - 1}{16}} = \sqrt{\frac{55}{16}} = \frac{\sqrt{55}}{4}$

Теперь вычислим угловой коэффициент:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{1 + \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{55}}{4}} = -\frac{5}{\sqrt{55}} = -\frac{5\sqrt{55}}{55} = -\frac{\sqrt{55}}{11}$

4. Составление уравнения касательной

Теперь у нас есть угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{55}}{11}$ и точка $(3; 0)$, через которую проходит касательная. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - 0 = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

$y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{55}}{11}(x - 3)$