Номер 444, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана функция $f(x) = 3x^3 \ln x - 36x \ln x - 7x^3 + 108x$.
Требуется найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ равна нулю. Область определения функции определяется наличием $\ln x$, поэтому $x > 0$.
Найдем производную функции $f'(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и основные правила дифференцирования:
$f'(x) = (3x^3 \ln x)' - (36x \ln x)' - (7x^3)' + (108x)'$
Вычислим производную каждого слагаемого:
$(3x^3 \ln x)' = (3x^3)' \ln x + 3x^3 (\ln x)' = 9x^2 \ln x + 3x^3 \cdot \frac{1}{x} = 9x^2 \ln x + 3x^2$
$(36x \ln x)' = (36x)' \ln x + 36x (\ln x)' = 36 \ln x + 36x \cdot \frac{1}{x} = 36 \ln x + 36$
$(7x^3)' = 21x^2$
$(108x)' = 108$
Теперь соберем все вместе:
$f'(x) = (9x^2 \ln x + 3x^2) - (36 \ln x + 36) - 21x^2 + 108$
$f'(x) = 9x^2 \ln x + 3x^2 - 36 \ln x - 36 - 21x^2 + 108$
$f'(x) = 9x^2 \ln x - 36 \ln x - 18x^2 + 72$
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$9x^2 \ln x - 36 \ln x - 18x^2 + 72 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(9x^2 - 36)\ln x - (18x^2 - 72) = 0$
$9(x^2 - 4)\ln x - 18(x^2 - 4) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$:
$(x^2 - 4)(9\ln x - 18) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$. Так как по области определения $x > 0$, корень $x_2 = -2$ не подходит.
2) $9\ln x - 18 = 0 \Rightarrow 9\ln x = 18 \Rightarrow \ln x = 2 \Rightarrow x_3 = e^2$.
Таким образом, производная равна нулю при $x=2$ и $x=e^2$.
Ответ: $2; e^2$.

2) Дана функция $f(x) = 3x^3 \ln x - 81x \ln x - 10x^3 + 324x$.
Область определения функции: $x > 0$.
Найдем производную функции $f'(x)$:
$f'(x) = (3x^3 \ln x)' - (81x \ln x)' - (10x^3)' + (324x)'$
Вычислим производные:
$(3x^3 \ln x)' = 9x^2 \ln x + 3x^2$
$(81x \ln x)' = 81 \ln x + 81$
$(10x^3)' = 30x^2$
$(324x)' = 324$
Соберем производную функции:
$f'(x) = (9x^2 \ln x + 3x^2) - (81 \ln x + 81) - 30x^2 + 324$
$f'(x) = 9x^2 \ln x + 3x^2 - 81 \ln x - 81 - 30x^2 + 324$
$f'(x) = 9x^2 \ln x - 81 \ln x - 27x^2 + 243$
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$9x^2 \ln x - 81 \ln x - 27x^2 + 243 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(9x^2 - 81)\ln x - (27x^2 - 243) = 0$
$9(x^2 - 9)\ln x - 27(x^2 - 9) = 0$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:
$(x^2 - 9)(9\ln x - 27) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3$. Так как $x > 0$, корень $x_2 = -3$ не подходит.
2) $9\ln x - 27 = 0 \Rightarrow 9\ln x = 27 \Rightarrow \ln x = 3 \Rightarrow x_3 = e^3$.
Таким образом, производная равна нулю при $x=3$ и $x=e^3$.
Ответ: $3; e^3$.