Номер 437, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_2^2 x^2 + \log_2 x > 5 \\ \log_{x-1} (x+1) > 2 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из первого неравенства следует, что $x > 0$.
Из второго неравенства: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$; основание логарифма $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ для всей системы: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Решим первое неравенство: $\log_2^2 x^2 + \log_2 x > 5$.
Поскольку по ОДЗ $x > 0$, мы можем использовать свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $\log_2 x^2 = 2\log_2 x$. Неравенство принимает вид:
$(\log_2 x^2)^2 + \log_2 x > 5 \Rightarrow (2\log_2 x)^2 + \log_2 x > 5$
$4\log_2^2 x + \log_2 x - 5 > 0$
Сделаем замену $t = \log_2 x$.
$4t^2 + t - 5 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 + t - 5 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$
$t_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства: $t < -\frac{5}{4}$ или $t > 1$.
Возвращаясь к переменной $x$:
$\log_2 x < -\frac{5}{4} \Rightarrow x < 2^{-5/4}$
$\log_2 x > 1 \Rightarrow x > 2$
С учетом $x>0$, решение первого неравенства: $x \in (0, 2^{-5/4}) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{x-1} (x+1) > 2$.
Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма $x-1$.
Случай 1: Основание $x-1 > 1$, то есть $x > 2$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x+1 > (x-1)^2$
$x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x \Rightarrow x(x-3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < x < 3$.
Пересекая с условием случая $x > 2$, получаем: $2 < x < 3$.
Случай 2: Основание $0 < x-1 < 1$, то есть $1 < x < 2$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x+1 < (x-1)^2$
$x+1 < x^2 - 2x + 1$
$0 < x^2 - 3x \Rightarrow x(x-3) > 0$
Решением этого неравенства является $x < 0$ или $x > 3$.
Пересекая с условием случая $1 < x < 2$, получаем пустое множество, так как нет чисел в интервале $(1, 2)$, которые были бы меньше 0 или больше 3.
Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (2, 3)$.

Найдем общее решение системы. Для этого найдем пересечение решений обоих неравенств и ОДЗ:
Решение 1: $x \in (0, 2^{-5/4}) \cup (2, \infty)$.
Решение 2: $x \in (2, 3)$.
ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.
Пересечение этих трех множеств дает интервал $(2, 3)$.
Ответ: $x \in (2, 3)$.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |\log_2 x| > |\log_2 \frac{x}{4}| \\ (x-2)^{2x^2-11x+9} < 1 \end{cases} $$

Найдем ОДЗ.
Из первого неравенства: $x > 0$ и $\frac{x}{4} > 0$, что дает $x > 0$.
Из второго неравенства (показательная функция с переменным основанием): основание $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
Общее ОДЗ для системы: $x > 2$.

Решим первое неравенство: $|\log_2 x| > |\log_2 \frac{x}{4}|$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 \frac{x}{4})^2$
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 x - \log_2 4)^2$
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 x - 2)^2$
Сделаем замену $t = \log_2 x$.
$t^2 > (t-2)^2$
$t^2 > t^2 - 4t + 4$
$0 > -4t + 4 \Rightarrow 4t > 4 \Rightarrow t > 1$
Возвращаясь к $x$:
$\log_2 x > 1 \Rightarrow x > 2^1 \Rightarrow x > 2$
Решение первого неравенства: $x \in (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^{2x^2-11x+9} < 1$.
Рассмотрим случаи в зависимости от основания $x-2$.
Случай 1: Основание $0 < x-2 < 1$, то есть $2 < x < 3$.
Для такого основания показательная функция убывает, поэтому неравенство $a^b < 1$ равносильно $b > 0$.
$2x^2-11x+9 > 0$
Найдем корни $2x^2-11x+9=0$. $D = (-11)^2 - 4(2)(9) = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11+7}{4} = 4.5$.
Решение неравенства $2x^2-11x+9 > 0$ есть $x \in (-\infty, 1) \cup (4.5, \infty)$.
Пересекая с условием $2 < x < 3$, получаем пустое множество.
Случай 2: Основание $x-2 > 1$, то есть $x > 3$.
Для такого основания показательная функция возрастает, поэтому неравенство $a^b < 1$ равносильно $b < 0$.
$2x^2-11x+9 < 0$
Из предыдущего пункта, решение этого неравенства $x \in (1, 4.5)$.
Пересекая с условием $x > 3$, получаем $3 < x < 4.5$.
Случай 3: Основание $x-2 = 1$, то есть $x=3$.
Неравенство принимает вид $1^{2(3)^2-11(3)+9} < 1$, что дает $1 < 1$. Это неверно, значит $x=3$ не является решением.
Решение второго неравенства: $x \in (3, 4.5)$.

Объединим решения.
Решение 1: $x \in (2, \infty)$.
Решение 2: $x \in (3, 4.5)$.
ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.
Пересечение всех множеств: $(2, \infty) \cap (3, 4.5) = (3, 4.5)$.
Ответ: $x \in (3, 4.5)$.

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |1 - \log_5 (x-1)| < 1 \\ 3 \cdot 5^{x-6} - 0.4 \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < 0.2 \end{cases} $$

Найдем ОДЗ.
Из первого неравенства: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
Во втором неравенстве показательные функции определены для любых действительных показателей.
ОДЗ системы: $x > 1$.

Решим первое неравенство: $|1 - \log_5 (x-1)| < 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 < 1 - \log_5 (x-1) < 1$
Вычтем 1 из всех частей:
$-2 < -\log_5 (x-1) < 0$
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$0 < \log_5 (x-1) < 2$
Представим 0 и 2 как логарифмы по основанию 5:
$\log_5 1 < \log_5 (x-1) < \log_5 25$
Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая:
$1 < x-1 < 25$
$2 < x < 26$
Решение первого неравенства: $x \in (2, 26)$.

Решим второе неравенство: $3 \cdot 5^{x-6} - 0.4 \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < 0.2$.
Преобразуем десятичные дроби: $0.4 = 2/5$, $0.2 = 1/5$.
$3 \cdot 5^{x-6} - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < \frac{1}{5}$
Сделаем замену $t = 5^{\frac{x-5}{2}}$. Так как $x>1$, то $\frac{x-5}{2} > \frac{1-5}{2}=-2$, значит $t > 5^{-2} = 1/25$.
Выразим $5^{x-6}$ через $t$:
$x-6 = (x-5) - 1$.
$5^{x-6} = 5^{x-5} \cdot 5^{-1} = (5^{\frac{x-5}{2}})^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{t^2}{5}$.
Подставим в неравенство:
$3 \cdot \frac{t^2}{5} - \frac{2}{5} t < \frac{1}{5}$
Умножим обе части на 5:
$3t^2 - 2t < 1 \Rightarrow 3t^2 - 2t - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $3t^2 - 2t - 1 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4+12=16=4^2$.
$t_1 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{2+4}{6} = 1$.
Решение неравенства для $t$: $-\frac{1}{3} < t < 1$.
Поскольку $t = 5^{\frac{x-5}{2}}$ должно быть положительным, получаем $0 < t < 1$.
Возвращаемся к $x$:
$0 < 5^{\frac{x-5}{2}} < 1$
Левая часть верна всегда. Правая часть: $5^{\frac{x-5}{2}} < 5^0$.
$\frac{x-5}{2} < 0 \Rightarrow x-5 < 0 \Rightarrow x < 5$.
Решение второго неравенства: $x < 5$.

Найдем общее решение системы.
Решение 1: $x \in (2, 26)$.
Решение 2: $x \in (-\infty, 5)$.
ОДЗ: $x > 1$.
Пересечение множеств $(2, 26) \cap (-\infty, 5) \cap (1, \infty)$ дает $(2, 5)$.
Ответ: $x \in (2, 5)$.

4)

Решим систему неравенств с параметром $a$:

$$ \begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0 \\ x^2 - x(a+1) + a > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3, x_2 = -2$.
Неравенство можно записать как $(x-3)(x+2) \le 0$.
Парабола $y=x^2-x-6$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями.
Решение: $x \in [-2, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x(a+1) + a > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - (a+1)x + a = 0$.
Сумма корней равна $a+1$, а произведение равно $a$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.
Неравенство можно записать как $(x-1)(x-a) > 0$.
Решение этого неравенства зависит от взаимного расположения $a$ и $1$.
Случай 1: $a < 1$. Корни $a$ и $1$. Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (1, \infty)$.
Случай 2: $a > 1$. Корни $1$ и $a$. Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (a, \infty)$.
Случай 3: $a = 1$. Неравенство становится $(x-1)^2 > 0$. Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решения первого неравенства $x \in [-2, 3]$ с решением второго для каждого случая значения $a$.
Мы ищем пересечение множества $[-2, 3]$ с множеством $(-\infty, \min(1, a)) \cup (\max(1, a), \infty)$, если $a \neq 1$, и с $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$, если $a=1$.

Рассмотрим все возможные значения параметра $a$:
1. Если $a \le -2$.
Тогда решение второго неравенства $x \in (-\infty, a] \cup (1, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, a]) \cup ([-2, 3] \cap (1, \infty)) = \emptyset \cup (1, 3] = (1, 3]$.
2. Если $-2 < a < 1$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, a) \cup (1, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, a)) \cup ([-2, 3] \cap (1, \infty)) = [-2, a) \cup (1, 3]$.
3. Если $a = 1$.
Решение второго неравенства $x \neq 1$. Пересечение с $[-2, 3]$: $[-2, 1) \cup (1, 3]$.
4. Если $1 < a < 3$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup (a, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, 1)) \cup ([-2, 3] \cap (a, \infty)) = [-2, 1) \cup (a, 3]$.
5. Если $a \ge 3$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup [a, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, 1)) \cup ([-2, 3] \cap [a, \infty)) = [-2, 1) \cup \emptyset = [-2, 1)$.

Ответ:
при $a \le -2$, $x \in (1, 3]$;
при $-2 < a < 1$, $x \in [-2, a) \cup (1, 3]$;
при $a = 1$, $x \in [-2, 1) \cup (1, 3]$;
при $1 < a < 3$, $x \in [-2, 1) \cup (a, 3]$;
при $a \ge 3$, $x \in [-2, 1)$.