Номер 430, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Обозначим выражение как $A : B \cdot C$, где:
$A = (x + a^{1.5} : x^{0.5})^{0.2} = (x + \frac{a^{1.5}}{x^{0.5}})^{0.2}$
$B = \left(1 - \left(\frac{a}{x}\right)^{0.5} + \frac{a^{0.5}}{x^{0.5} - a^{0.5}}\right)^{0.2}$
$C = (x - a)^{0.3}$
Выражение равносильно $\frac{A \cdot C}{B} = \left(\frac{A^{5}}{B^{5}}\right)^{0.2} \cdot C = \left(\frac{x + \frac{a^{1.5}}{x^{0.5}}}{1 - (\frac{a}{x})^{0.5} + \frac{a^{0.5}}{x^{0.5} - a^{0.5}}}\right)^{0.2} \cdot (x - a)^{0.3}$.
Упростим выражение в скобках.
Числитель: $x + \frac{a^{1.5}}{x^{0.5}} = \frac{x \cdot x^{0.5} + a^{1.5}}{x^{0.5}} = \frac{x^{1.5} + a^{1.5}}{x^{0.5}}$.
Знаменатель: $1 - \frac{a^{0.5}}{x^{0.5}} + \frac{a^{0.5}}{x^{0.5} - a^{0.5}} = \frac{x^{0.5} - a^{0.5}}{x^{0.5}} + \frac{a^{0.5}}{x^{0.5} - a^{0.5}} = \frac{(x^{0.5} - a^{0.5})^2 + a^{0.5}x^{0.5}}{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})} = \frac{x - 2a^{0.5}x^{0.5} + a + a^{0.5}x^{0.5}}{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})} = \frac{x - a^{0.5}x^{0.5} + a}{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{x^{1.5} + a^{1.5}}{x^{0.5}}}{\frac{x - a^{0.5}x^{0.5} + a}{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})}} = \frac{x^{1.5} + a^{1.5}}{x^{0.5}} \cdot \frac{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})}{x - a^{0.5}x^{0.5} + a}$.
Используем формулу суммы кубов для $x^{1.5} + a^{1.5} = (x^{0.5})^3 + (a^{0.5})^3 = (x^{0.5} + a^{0.5})(x - x^{0.5}a^{0.5} + a)$.
$\frac{(x^{0.5} + a^{0.5})(x - x^{0.5}a^{0.5} + a)}{x^{0.5}} \cdot \frac{x^{0.5}(x^{0.5} - a^{0.5})}{x - a^{0.5}x^{0.5} + a} = (x^{0.5} + a^{0.5})(x^{0.5} - a^{0.5}) = (x^{0.5})^2 - (a^{0.5})^2 = x-a$.
Подставим результат в исходное выражение:
$(x-a)^{0.2} \cdot (x-a)^{0.3} = (x-a)^{0.2+0.3} = (x-a)^{0.5} = \sqrt{x-a}$.

Ответ: $\sqrt{x-a}$.

2)

Упростим числитель и знаменатель по отдельности. Для упрощения выражения будем считать, что оно определено, т.е. $a-1 \ge 0 \implies a \ge 1$.
Рассмотрим подкоренные выражения в числителе. Они имеют вид полного квадрата:
$a \pm 2(a-1)^{0.5} = a \pm 2\sqrt{a-1} = (a-1) \pm 2\sqrt{a-1} + 1 = (\sqrt{a-1} \pm 1)^2$.
Тогда числитель примет вид:
$(\left(\sqrt{a-1} - 1\right)^2)^{0.5} + (\left(\sqrt{a-1} + 1\right)^2)^{0.5} = \sqrt{(\sqrt{a-1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2} = |\sqrt{a-1} - 1| + |\sqrt{a-1} + 1|$.
Так как $\sqrt{a-1} \ge 0$, то $\sqrt{a-1}+1 > 0$, и $|\sqrt{a-1}+1| = \sqrt{a-1}+1$.
Числитель равен $|\sqrt{a-1} - 1| + \sqrt{a-1} + 1$.
Упростим знаменатель:
$(a^2 - 4(a-1))^{0.5} = \sqrt{a^2 - 4a + 4} = \sqrt{(a-2)^2} = |a-2|$.
Теперь рассмотрим два случая для раскрытия модулей.
Случай 1: $a \ge 2$.
Тогда $a-1 \ge 1$, $\sqrt{a-1} \ge 1$, значит $|\sqrt{a-1}-1| = \sqrt{a-1}-1$.
Также $|a-2| = a-2$.
Выражение равно: $\frac{(\sqrt{a-1}-1) + (\sqrt{a-1}+1)}{a-2} = \frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$.
Случай 2: $1 \le a < 2$.
Тогда $0 \le a-1 < 1$, $0 \le \sqrt{a-1} < 1$, значит $|\sqrt{a-1}-1| = -(\sqrt{a-1}-1) = 1-\sqrt{a-1}$.
Также $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.
Выражение равно: $\frac{(1-\sqrt{a-1}) + (\sqrt{a-1}+1)}{2-a} = \frac{2}{2-a}$.
Выражение не определено при $a=2$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}$ при $a > 2$; $\frac{2}{2-a}$ при $1 \le a < 2$.

3)

Упростим выражения под знаками корня, выделив полные квадраты:
$\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.
$\sqrt{x^2 + 10x + 25} = \sqrt{(x+5)^2} = |x+5|$.
Исходное выражение принимает вид: $x + 1 + |x-3| + |x+5|$.
Для раскрытия модулей рассмотрим три числовых промежутка, определяемых точками $x=3$ и $x=-5$.
Случай 1: $x < -5$.
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
$|x+5| = -(x+5) = -x-5$.
Выражение: $x + 1 + (3-x) + (-x-5) = x + 1 + 3 - x - x - 5 = -x - 1$.
Случай 2: $-5 \le x < 3$.
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
$|x+5| = x+5$.
Выражение: $x + 1 + (3-x) + (x+5) = x + 1 + 3 - x + x + 5 = x + 9$.
Случай 3: $x \ge 3$.
$|x-3| = x-3$.
$|x+5| = x+5$.
Выражение: $x + 1 + (x-3) + (x+5) = x + 1 + x - 3 + x + 5 = 3x + 3$.

Ответ: $-x - 1$ при $x < -5$; $x + 9$ при $-5 \le x < 3$; $3x + 3$ при $x \ge 3$.

4)

Пусть $E = \sqrt{\frac{a^3+3b}{2a} + \sqrt{3ab}} - \sqrt{\frac{a^3+3b}{2a} - \sqrt{3ab}}$.
Возведем обе части в квадрат:
$E^2 = \left(\sqrt{\frac{a^3+3b}{2a} + \sqrt{3ab}} - \sqrt{\frac{a^3+3b}{2a} - \sqrt{3ab}}\right)^2$.
$E^2 = \left(\frac{a^3+3b}{2a} + \sqrt{3ab}\right) - 2\sqrt{\left(\frac{a^3+3b}{2a}\right)^2 - (\sqrt{3ab})^2} + \left(\frac{a^3+3b}{2a} - \sqrt{3ab}\right)$.
$E^2 = 2 \cdot \frac{a^3+3b}{2a} - 2\sqrt{\frac{(a^3+3b)^2}{4a^2} - 3ab} = \frac{a^3+3b}{a} - 2\sqrt{\frac{a^6+6a^3b+9b^2-12a^3b}{4a^2}}$.
$E^2 = \frac{a^3+3b}{a} - 2\sqrt{\frac{a^6-6a^3b+9b^2}{4a^2}} = \frac{a^3+3b}{a} - 2\sqrt{\frac{(a^3-3b)^2}{(2a)^2}} = \frac{a^3+3b}{a} - 2\frac{|a^3-3b|}{2a}$.
$E^2 = \frac{a^3+3b - |a^3-3b|}{a}$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $a^3 \ge 3b$.
$|a^3-3b| = a^3-3b$.
$E^2 = \frac{a^3+3b - (a^3-3b)}{a} = \frac{6b}{a}$.
Так как первый корень в исходном выражении больше второго, $E > 0$. Значит $E = \sqrt{\frac{6b}{a}}$.
Случай 2: $a^3 < 3b$.
$|a^3-3b| = -(a^3-3b) = 3b-a^3$.
$E^2 = \frac{a^3+3b - (3b-a^3)}{a} = \frac{2a^3}{a} = 2a^2$.
Так как $a>0$, $E = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{6b}{a}}$ при $a^3 \ge 3b$; $a\sqrt{2}$ при $a^3 < 3b$.

5)

Сначала упростим $x$ и связанные с ним выражения.
$x = \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\right) = \frac{a+b}{2\sqrt{ab}}$.
Так как $a, b > 0$, по неравенству о средних $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, следовательно $x \ge 1$.
Найдем $x^2-1$:
$x^2-1 = \left(\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}\right)^2 - 1 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4ab} - 1 = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4ab} = \frac{a^2-2ab+b^2}{4ab} = \frac{(a-b)^2}{4ab}$.
Тогда $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\frac{(a-b)^2}{4ab}} = \frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}$.
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{2b\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{2b \cdot \frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}}{\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} - \frac{|a-b|}{2\sqrt{ab}}} = \frac{\frac{b|a-b|}{\sqrt{ab}}}{\frac{a+b-|a-b|}{2\sqrt{ab}}} = \frac{b|a-b|}{\sqrt{ab}} \cdot \frac{2\sqrt{ab}}{a+b-|a-b|} = \frac{2b|a-b|}{a+b-|a-b|}$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.
Случай 1: $a \ge b$.
$|a-b|=a-b$.
Выражение: $\frac{2b(a-b)}{a+b-(a-b)} = \frac{2b(a-b)}{a+b-a+b} = \frac{2b(a-b)}{2b} = a-b$.
Случай 2: $a < b$.
$|a-b|=-(a-b)=b-a$.
Выражение: $\frac{2b(b-a)}{a+b-(b-a)} = \frac{2b(b-a)}{a+b-b+a} = \frac{2b(b-a)}{2a} = \frac{b(b-a)}{a}$.

Ответ: $a-b$ при $a \ge b$; $\frac{b(b-a)}{a}$ при $a < b$.