Номер 436, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано неравенство $(a^2 + 6a - 4)x^2 - 2(a - 1)x - 1 < 0$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Это квадратичное неравенство вида $Ax^2 + Bx + C < 0$. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции $y = Ax^2 + Bx + C$, была полностью расположена ниже оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз): $A < 0$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным (парабола не пересекает ось $x$): $D < 0$.

Рассмотрим также случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Шаг 1: Условие $A < 0$
$A = a^2 + 6a - 4$.
Решим неравенство $a^2 + 6a - 4 < 0$. Найдем корни уравнения $a^2 + 6a - 4 = 0$:
$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}$.
Так как парабола $y = a^2 + 6a - 4$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:
$a \in (-3 - \sqrt{13}, -3 + \sqrt{13})$.

Шаг 2: Условие $D < 0$
$B = -2(a - 1)$, $C = -1$.
$D = B^2 - 4AC = (-2(a-1))^2 - 4(a^2 + 6a - 4)(-1) < 0$.
$4(a-1)^2 + 4(a^2 + 6a - 4) < 0$.
Разделим на 4:
$(a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 6a - 4) < 0$.
$2a^2 + 4a - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2a^2 + 4a - 3 = 0$:
$a = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$.
Так как парабола $y = 2a^2 + 4a - 3$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями:
$a \in (\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2})$.

Шаг 3: Пересечение решений
Найдем пересечение интервалов, полученных на шагах 1 и 2:
$(-3 - \sqrt{13}, -3 + \sqrt{13})$ и $(\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2})$.
Оценим значения: $\sqrt{13} \approx 3.61$, $\sqrt{10} \approx 3.16$.
Первый интервал: $(-3 - 3.61, -3 + 3.61) \approx (-6.61, 0.61)$.
Второй интервал: $(\frac{-2 - 3.16}{2}, \frac{-2 + 3.16}{2}) = (\frac{-5.16}{2}, \frac{1.16}{2}) \approx (-2.58, 0.58)$.
Пересечением является интервал $(\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2})$.

Шаг 4: Случай $A=0$
Если $a^2 + 6a - 4 = 0$, то $a = -3 \pm \sqrt{13}$. Неравенство становится линейным: $-2(a - 1)x - 1 < 0$. Это неравенство не может выполняться для всех $x$, так как при любом ненулевом коэффициенте при $x$ можно подобрать такое $x$, что неравенство не будет верным.

Таким образом, решением является интервал, найденный на шаге 3.

Ответ: $a \in (\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}, \frac{-2 + \sqrt{10}}{2})$.

2)

Дано неравенство $(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 1 > 0$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых это неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Рассмотрим два случая: когда коэффициент при $x^2$ равен нулю и когда он отличен от нуля.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a^2 - 1 = 0 \implies a = 1$ или $a = -1$.
При $a = 1$:
$(1^2 - 1)x^2 + 2(1 - 1)x + 1 > 0 \implies 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1 > 0 \implies 1 > 0$.
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, $a = 1$ является решением.

При $a = -1$:
$((-1)^2 - 1)x^2 + 2(-1 - 1)x + 1 > 0 \implies 0 \cdot x^2 - 4x + 1 > 0 \implies -4x > -1 \implies x < \frac{1}{4}$.
Это неравенство выполняется не для всех $x$. Следовательно, $a = -1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
Неравенство $Ax^2 + Bx + C > 0$ выполняется для всех $x$ тогда и только тогда, когда $A > 0$ и $D < 0$.
Условие $A > 0$:
$a^2 - 1 > 0 \implies (a - 1)(a + 1) > 0 \implies a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Условие $D < 0$:
$D = (2(a - 1))^2 - 4(a^2 - 1)(1) = 4(a - 1)^2 - 4(a^2 - 1) < 0$.
$4(a - 1)^2 - 4(a - 1)(a + 1) < 0$.
$4(a - 1)((a - 1) - (a + 1)) < 0$.
$4(a - 1)(-2) < 0$.
$-8(a - 1) < 0 \implies a - 1 > 0 \implies a > 1$.

Найдем пересечение множеств, полученных в этом случае: $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $a > 1$. Пересечением является интервал $a > 1$.

Объединение решений
Объединим решения из обоих случаев: $a=1$ и $a>1$.

Ответ: $a \in [1, \infty)$.

3)

Дано условие: если $x > 0$, то $mx^2 + 4x + 3m + 1 > 0$. Требуется найти все значения параметра $m$, при которых это условие выполняется.

Обозначим $f(x) = mx^2 + 4x + 3m + 1$. Нам нужно, чтобы $f(x) > 0$ для всех $x \in (0, \infty)$.

Случай 1: $m = 0$
Неравенство принимает вид: $4x + 1 > 0 \implies 4x > -1 \implies x > -\frac{1}{4}$.
Так как интервал $(0, \infty)$ является подмножеством интервала $(-\frac{1}{4}, \infty)$, условие выполняется. Значит, $m=0$ является решением.

Случай 2: $m > 0$
График функции $f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины параболы: $x_v = \frac{-4}{2m} = -\frac{2}{m}$.
Поскольку $m > 0$, то $x_v < 0$. На интервале $(x_v, \infty)$ функция $f(x)$ возрастает. Так как $(0, \infty) \subset (x_v, \infty)$, функция $f(x)$ возрастает на $(0, \infty)$.
Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале (точнее, инфимум) достигается при $x \to 0^+$.
$\inf_{x \in (0, \infty)} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = m \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + 3m + 1 = 3m + 1$.
Чтобы неравенство $f(x) > 0$ выполнялось для всех $x>0$, необходимо и достаточно, чтобы инфимум был неотрицателен: $f(0) \ge 0$.
$3m + 1 \ge 0 \implies 3m \ge -1 \implies m \ge -\frac{1}{3}$.
Пересекая с условием $m > 0$, получаем $m > 0$.

Случай 3: $m < 0$
График функции $f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вниз. При $x \to \infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Это означает, что для достаточно больших $x$ значение функции будет отрицательным. Следовательно, условие $f(x)>0$ для всех $x>0$ не может быть выполнено. Решений в этом случае нет.

Объединение решений
Объединим решения из всех случаев: $m=0$ и $m>0$.

Ответ: $m \in [0, \infty)$.

4)

Решим неравенство $\frac{1}{x} + \frac{3}{2a} < \frac{1}{x+3a}$ относительно переменной $x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$, $a \ne 0$, $x+3a \ne 0 \implies x \ne -3a$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{x} + \frac{3}{2a} - \frac{1}{x+3a} < 0$
$\frac{1(2a)(x+3a) + 3(x)(x+3a) - 1(2a)(x)}{2ax(x+3a)} < 0$
$\frac{2ax + 6a^2 + 3x^2 + 9ax - 2ax}{2ax(x+3a)} < 0$
$\frac{3x^2 + 9ax + 6a^2}{2ax(x+3a)} < 0$
Разделим числитель на 3:
$\frac{x^2 + 3ax + 2a^2}{2ax(x+3a)} < 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 3ax + 2a^2 = 0$ равны $x_1 = -a$ и $x_2 = -2a$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x+a)(x+2a)}{2ax(x+3a)} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов, рассмотрев два случая для параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$
В этом случае $2a > 0$, и неравенство равносильно:
$\frac{(x+a)(x+2a)}{x(x+3a)} < 0$.
Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: $-3a, -2a, -a, 0$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- При $x \in (0, \infty)$: $(+)(+)/(+)(+) > 0$
- При $x \in (-a, 0)$: $(+)(+)/(-)(+) < 0$
- При $x \in (-2a, -a)$: $(-)(+)/(-)(+) > 0$
- При $x \in (-3a, -2a)$: $(-)(-)/(-)(+) < 0$
- При $x \in (-\infty, -3a)$: $(-)(-)/(-)(-) > 0$
Решением являются интервалы, где выражение отрицательно: $x \in (-3a, -2a) \cup (-a, 0)$.

Случай 2: $a < 0$
В этом случае $2a < 0$, и неравенство равносильно (знак меняется на противоположный):
$\frac{(x+a)(x+2a)}{x(x+3a)} > 0$.
Нули числителя и знаменателя в порядке возрастания (т.к. $a$ отрицательно, $-a$ положительно): $0, -a, -2a, -3a$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- При $x \in (-3a, \infty)$: $(+)(+)/(+)(+) > 0$
- При $x \in (-2a, -3a)$: $(+)(+)/(+)(-) < 0$
- При $x \in (-a, -2a)$: $(+)(-)/(+)(-) > 0$
- При $x \in (0, -a)$: $(-)(-)/(+)(-) < 0$
- При $x \in (-\infty, 0)$: $(-)(-)/(-)(-) > 0$
Решением являются интервалы, где выражение положительно: $x \in (-\infty, 0) \cup (-a, -2a) \cup (-3a, \infty)$.

Ответ:
Если $a > 0$, то $x \in (-3a, -2a) \cup (-a, 0)$.
Если $a < 0$, то $x \in (-\infty, 0) \cup (-a, -2a) \cup (-3a, \infty)$.