Номер 438, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\ln(7 - x) + \sqrt{x - y}$

Для нахождения области определения выражения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $7 - x > 0$, что эквивалентно $x < 7$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - y \ge 0$, что эквивалентно $y \le x$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x < 7 \\ y \le x \end{cases}$

Геометрически это область на координатной плоскости, расположенная левее вертикальной прямой $x=7$ (прямая не включается, изображается пунктиром) и ниже или на прямой $y=x$ (прямая включается, изображается сплошной линией). Искомая область является пересечением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x < 7$ и $y \le x$.

2) $\ln(x + y) - \sqrt{3x - 15}$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x + y > 0$, что равносильно $y > -x$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $3x - 15 \ge 0$, что равносильно $3x \ge 15$ или $x \ge 5$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} y > -x \\ x \ge 5 \end{cases}$

На координатной плоскости это область, расположенная выше прямой $y=-x$ (прямая не включается, изображается пунктиром) и правее или на вертикальной прямой $x=5$ (прямая включается, изображается сплошной линией). Искомая область является пересечением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $y > -x$ и $x \ge 5$.

3) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} + \ln(3x - 2y)$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $4 - x^2 - y^2 > 0$, что равносильно $x^2 + y^2 < 4$.

2. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $3x - 2y > 0$, что равносильно $2y < 3x$ или $y < \frac{3}{2}x$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ y < \frac{3}{2}x \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает внутренность круга с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 2. Граница (окружность) не включается. Второе неравенство $y < \frac{3}{2}x$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=1.5x$. Граница (прямая) не включается. Так как прямая $y=1.5x$ проходит через центр круга, она делит его на два полукруга. Искомая область - это открытый полукруг, расположенный ниже этой прямой.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x^2 + y^2 < 4$ и $y < \frac{3}{2}x$.

4) $\log_5(x^2 + y^2 - 16) - \sqrt{4x - 5y - 1}$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + y^2 - 16 > 0$, что равносильно $x^2 + y^2 > 16$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4x - 5y - 1 \ge 0$, что равносильно $5y \le 4x - 1$ или $y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 16 \\ y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5} \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 > 16$ задает внешность круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 4. Граница (окружность) не включается. Второе неравенство $y \le 0.8x - 0.2$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y=0.8x-0.2$. Граница (прямая) включается. Прямая пересекает круг, так как расстояние от начала координат до прямой меньше радиуса. Искомая область - это часть полуплоскости, лежащая вне круга.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x^2 + y^2 > 16$ и $y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.