Страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_2^2 x^2 + \log_2 x > 5 \\ \log_{x-1} (x+1) > 2 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из первого неравенства следует, что $x > 0$.
Из второго неравенства: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$; основание логарифма $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ и $x-1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ для всей системы: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Решим первое неравенство: $\log_2^2 x^2 + \log_2 x > 5$.
Поскольку по ОДЗ $x > 0$, мы можем использовать свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$: $\log_2 x^2 = 2\log_2 x$. Неравенство принимает вид:
$(\log_2 x^2)^2 + \log_2 x > 5 \Rightarrow (2\log_2 x)^2 + \log_2 x > 5$
$4\log_2^2 x + \log_2 x - 5 > 0$
Сделаем замену $t = \log_2 x$.
$4t^2 + t - 5 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4t^2 + t - 5 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$
$t_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства: $t < -\frac{5}{4}$ или $t > 1$.
Возвращаясь к переменной $x$:
$\log_2 x < -\frac{5}{4} \Rightarrow x < 2^{-5/4}$
$\log_2 x > 1 \Rightarrow x > 2$
С учетом $x>0$, решение первого неравенства: $x \in (0, 2^{-5/4}) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{x-1} (x+1) > 2$.
Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма $x-1$.
Случай 1: Основание $x-1 > 1$, то есть $x > 2$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x+1 > (x-1)^2$
$x+1 > x^2 - 2x + 1$
$0 > x^2 - 3x \Rightarrow x(x-3) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $0 < x < 3$.
Пересекая с условием случая $x > 2$, получаем: $2 < x < 3$.
Случай 2: Основание $0 < x-1 < 1$, то есть $1 < x < 2$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x+1 < (x-1)^2$
$x+1 < x^2 - 2x + 1$
$0 < x^2 - 3x \Rightarrow x(x-3) > 0$
Решением этого неравенства является $x < 0$ или $x > 3$.
Пересекая с условием случая $1 < x < 2$, получаем пустое множество, так как нет чисел в интервале $(1, 2)$, которые были бы меньше 0 или больше 3.
Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (2, 3)$.

Найдем общее решение системы. Для этого найдем пересечение решений обоих неравенств и ОДЗ:
Решение 1: $x \in (0, 2^{-5/4}) \cup (2, \infty)$.
Решение 2: $x \in (2, 3)$.
ОДЗ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.
Пересечение этих трех множеств дает интервал $(2, 3)$.
Ответ: $x \in (2, 3)$.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |\log_2 x| > |\log_2 \frac{x}{4}| \\ (x-2)^{2x^2-11x+9} < 1 \end{cases} $$

Найдем ОДЗ.
Из первого неравенства: $x > 0$ и $\frac{x}{4} > 0$, что дает $x > 0$.
Из второго неравенства (показательная функция с переменным основанием): основание $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
Общее ОДЗ для системы: $x > 2$.

Решим первое неравенство: $|\log_2 x| > |\log_2 \frac{x}{4}|$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 \frac{x}{4})^2$
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 x - \log_2 4)^2$
$(\log_2 x)^2 > (\log_2 x - 2)^2$
Сделаем замену $t = \log_2 x$.
$t^2 > (t-2)^2$
$t^2 > t^2 - 4t + 4$
$0 > -4t + 4 \Rightarrow 4t > 4 \Rightarrow t > 1$
Возвращаясь к $x$:
$\log_2 x > 1 \Rightarrow x > 2^1 \Rightarrow x > 2$
Решение первого неравенства: $x \in (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-2)^{2x^2-11x+9} < 1$.
Рассмотрим случаи в зависимости от основания $x-2$.
Случай 1: Основание $0 < x-2 < 1$, то есть $2 < x < 3$.
Для такого основания показательная функция убывает, поэтому неравенство $a^b < 1$ равносильно $b > 0$.
$2x^2-11x+9 > 0$
Найдем корни $2x^2-11x+9=0$. $D = (-11)^2 - 4(2)(9) = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$, $x_2 = \frac{11+7}{4} = 4.5$.
Решение неравенства $2x^2-11x+9 > 0$ есть $x \in (-\infty, 1) \cup (4.5, \infty)$.
Пересекая с условием $2 < x < 3$, получаем пустое множество.
Случай 2: Основание $x-2 > 1$, то есть $x > 3$.
Для такого основания показательная функция возрастает, поэтому неравенство $a^b < 1$ равносильно $b < 0$.
$2x^2-11x+9 < 0$
Из предыдущего пункта, решение этого неравенства $x \in (1, 4.5)$.
Пересекая с условием $x > 3$, получаем $3 < x < 4.5$.
Случай 3: Основание $x-2 = 1$, то есть $x=3$.
Неравенство принимает вид $1^{2(3)^2-11(3)+9} < 1$, что дает $1 < 1$. Это неверно, значит $x=3$ не является решением.
Решение второго неравенства: $x \in (3, 4.5)$.

Объединим решения.
Решение 1: $x \in (2, \infty)$.
Решение 2: $x \in (3, 4.5)$.
ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.
Пересечение всех множеств: $(2, \infty) \cap (3, 4.5) = (3, 4.5)$.
Ответ: $x \in (3, 4.5)$.

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} |1 - \log_5 (x-1)| < 1 \\ 3 \cdot 5^{x-6} - 0.4 \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < 0.2 \end{cases} $$

Найдем ОДЗ.
Из первого неравенства: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
Во втором неравенстве показательные функции определены для любых действительных показателей.
ОДЗ системы: $x > 1$.

Решим первое неравенство: $|1 - \log_5 (x-1)| < 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 < 1 - \log_5 (x-1) < 1$
Вычтем 1 из всех частей:
$-2 < -\log_5 (x-1) < 0$
Умножим на -1, изменив знаки неравенства:
$0 < \log_5 (x-1) < 2$
Представим 0 и 2 как логарифмы по основанию 5:
$\log_5 1 < \log_5 (x-1) < \log_5 25$
Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая:
$1 < x-1 < 25$
$2 < x < 26$
Решение первого неравенства: $x \in (2, 26)$.

Решим второе неравенство: $3 \cdot 5^{x-6} - 0.4 \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < 0.2$.
Преобразуем десятичные дроби: $0.4 = 2/5$, $0.2 = 1/5$.
$3 \cdot 5^{x-6} - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{x-5}{2}} < \frac{1}{5}$
Сделаем замену $t = 5^{\frac{x-5}{2}}$. Так как $x>1$, то $\frac{x-5}{2} > \frac{1-5}{2}=-2$, значит $t > 5^{-2} = 1/25$.
Выразим $5^{x-6}$ через $t$:
$x-6 = (x-5) - 1$.
$5^{x-6} = 5^{x-5} \cdot 5^{-1} = (5^{\frac{x-5}{2}})^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{t^2}{5}$.
Подставим в неравенство:
$3 \cdot \frac{t^2}{5} - \frac{2}{5} t < \frac{1}{5}$
Умножим обе части на 5:
$3t^2 - 2t < 1 \Rightarrow 3t^2 - 2t - 1 < 0$
Найдем корни уравнения $3t^2 - 2t - 1 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4+12=16=4^2$.
$t_1 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{2+4}{6} = 1$.
Решение неравенства для $t$: $-\frac{1}{3} < t < 1$.
Поскольку $t = 5^{\frac{x-5}{2}}$ должно быть положительным, получаем $0 < t < 1$.
Возвращаемся к $x$:
$0 < 5^{\frac{x-5}{2}} < 1$
Левая часть верна всегда. Правая часть: $5^{\frac{x-5}{2}} < 5^0$.
$\frac{x-5}{2} < 0 \Rightarrow x-5 < 0 \Rightarrow x < 5$.
Решение второго неравенства: $x < 5$.

Найдем общее решение системы.
Решение 1: $x \in (2, 26)$.
Решение 2: $x \in (-\infty, 5)$.
ОДЗ: $x > 1$.
Пересечение множеств $(2, 26) \cap (-\infty, 5) \cap (1, \infty)$ дает $(2, 5)$.
Ответ: $x \in (2, 5)$.

4)

Решим систему неравенств с параметром $a$:

$$ \begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0 \\ x^2 - x(a+1) + a > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 3, x_2 = -2$.
Неравенство можно записать как $(x-3)(x+2) \le 0$.
Парабола $y=x^2-x-6$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями.
Решение: $x \in [-2, 3]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x(a+1) + a > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - (a+1)x + a = 0$.
Сумма корней равна $a+1$, а произведение равно $a$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.
Неравенство можно записать как $(x-1)(x-a) > 0$.
Решение этого неравенства зависит от взаимного расположения $a$ и $1$.
Случай 1: $a < 1$. Корни $a$ и $1$. Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (1, \infty)$.
Случай 2: $a > 1$. Корни $1$ и $a$. Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (a, \infty)$.
Случай 3: $a = 1$. Неравенство становится $(x-1)^2 > 0$. Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решения первого неравенства $x \in [-2, 3]$ с решением второго для каждого случая значения $a$.
Мы ищем пересечение множества $[-2, 3]$ с множеством $(-\infty, \min(1, a)) \cup (\max(1, a), \infty)$, если $a \neq 1$, и с $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$, если $a=1$.

Рассмотрим все возможные значения параметра $a$:
1. Если $a \le -2$.
Тогда решение второго неравенства $x \in (-\infty, a] \cup (1, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, a]) \cup ([-2, 3] \cap (1, \infty)) = \emptyset \cup (1, 3] = (1, 3]$.
2. Если $-2 < a < 1$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, a) \cup (1, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, a)) \cup ([-2, 3] \cap (1, \infty)) = [-2, a) \cup (1, 3]$.
3. Если $a = 1$.
Решение второго неравенства $x \neq 1$. Пересечение с $[-2, 3]$: $[-2, 1) \cup (1, 3]$.
4. Если $1 < a < 3$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup (a, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, 1)) \cup ([-2, 3] \cap (a, \infty)) = [-2, 1) \cup (a, 3]$.
5. Если $a \ge 3$.
Решение второго неравенства $x \in (-\infty, 1) \cup [a, \infty)$. Пересечение с $[-2, 3]$: $([-2, 3] \cap (-\infty, 1)) \cup ([-2, 3] \cap [a, \infty)) = [-2, 1) \cup \emptyset = [-2, 1)$.

Ответ:
при $a \le -2$, $x \in (1, 3]$;
при $-2 < a < 1$, $x \in [-2, a) \cup (1, 3]$;
при $a = 1$, $x \in [-2, 1) \cup (1, 3]$;
при $1 < a < 3$, $x \in [-2, 1) \cup (a, 3]$;
при $a \ge 3$, $x \in [-2, 1)$.

1) $\ln(7 - x) + \sqrt{x - y}$

Для нахождения области определения выражения необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $7 - x > 0$, что эквивалентно $x < 7$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x - y \ge 0$, что эквивалентно $y \le x$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x < 7 \\ y \le x \end{cases}$

Геометрически это область на координатной плоскости, расположенная левее вертикальной прямой $x=7$ (прямая не включается, изображается пунктиром) и ниже или на прямой $y=x$ (прямая включается, изображается сплошной линией). Искомая область является пересечением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x < 7$ и $y \le x$.

2) $\ln(x + y) - \sqrt{3x - 15}$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x + y > 0$, что равносильно $y > -x$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $3x - 15 \ge 0$, что равносильно $3x \ge 15$ или $x \ge 5$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} y > -x \\ x \ge 5 \end{cases}$

На координатной плоскости это область, расположенная выше прямой $y=-x$ (прямая не включается, изображается пунктиром) и правее или на вертикальной прямой $x=5$ (прямая включается, изображается сплошной линией). Искомая область является пересечением этих двух полуплоскостей.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $y > -x$ и $x \ge 5$.

3) $\frac{1}{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} + \ln(3x - 2y)$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $4 - x^2 - y^2 > 0$, что равносильно $x^2 + y^2 < 4$.

2. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $3x - 2y > 0$, что равносильно $2y < 3x$ или $y < \frac{3}{2}x$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ y < \frac{3}{2}x \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает внутренность круга с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 2. Граница (окружность) не включается. Второе неравенство $y < \frac{3}{2}x$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=1.5x$. Граница (прямая) не включается. Так как прямая $y=1.5x$ проходит через центр круга, она делит его на два полукруга. Искомая область - это открытый полукруг, расположенный ниже этой прямой.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x^2 + y^2 < 4$ и $y < \frac{3}{2}x$.

4) $\log_5(x^2 + y^2 - 16) - \sqrt{4x - 5y - 1}$

Область определения выражения определяется следующими условиями:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + y^2 - 16 > 0$, что равносильно $x^2 + y^2 > 16$.

2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4x - 5y - 1 \ge 0$, что равносильно $5y \le 4x - 1$ или $y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.

Таким образом, область определения задается системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 > 16 \\ y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5} \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + y^2 > 16$ задает внешность круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 4. Граница (окружность) не включается. Второе неравенство $y \le 0.8x - 0.2$ задает полуплоскость, расположенную на и ниже прямой $y=0.8x-0.2$. Граница (прямая) включается. Прямая пересекает круг, так как расстояние от начала координат до прямой меньше радиуса. Искомая область - это часть полуплоскости, лежащая вне круга.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, для которых $x^2 + y^2 > 16$ и $y \le \frac{4}{5}x - \frac{1}{5}$.

1) $y = 16^{\log_{4} x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

Далее упростим данное функциональное выражение. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$ и свойства степеней: $y = 16^{\log_{4} x} = (4^2)^{\log_{4} x} = 4^{2\log_{4} x} = 4^{\log_{4} (x^2)}$.

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $y = x^2$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ с учетом ОДЗ $x > 0$. Это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Сама точка $(0,0)$ не принадлежит графику, поэтому она изображается "выколотой".

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{5} x}$

ОДЗ функции определяется условием $x > 0$.

Упростим выражение: $y = \left(5^{-1}\right)^{\log_{5} x} = 5^{-\log_{5} x} = 5^{\log_{5} (x^{-1})}$.

По основному логарифмическому тождеству: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Следовательно, строим график функции $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном углу.

Ответ: Графиком функции является ветвь гиперболы $y = 1/x$, расположенная в I координатной четверти.

3) $y = 10^{\lg(3 - 2x + x^2)}$

ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x^2 - 2x + 3 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как $\lg$ — это десятичный логарифм ($\log_{10}$), то по основному логарифмическому тождеству: $y = x^2 - 2x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x + 3$ с вершиной в точке $(1, 2)$.

4) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{3/2}(1-x)}$

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

Воспользуемся свойством $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$. Тогда: $y = (1-x)^{\log_{3/2}(2/3)}$.

Найдем значение показателя степени: $\log_{3/2}(2/3) = \log_{3/2}((3/2)^{-1}) = -1$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = (1-x)^{-1} = \frac{1}{1-x}$.

Строим график функции $y = \frac{1}{1-x}$ при $x < 1$. Это ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Ответ: Графиком является левая ветвь гиперболы $y=1/(1-x)$ с вертикальной асимптотой $x=1$.

5) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + 3x + 2$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Упростим функцию: $y = \sqrt{(x-1)^2} + 3x + 2 = |x-1| + 3x + 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x-1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = (x-1) + 3x + 2 = 4x + 1$.
2. Если $x-1 < 0$ (т.е. $x < 1$), то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = (1-x) + 3x + 2 = 2x + 3$.

Итак, $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x < 1 \\ 4x+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Найдем точку "стыка" при $x=1$: $y(1) = 4(1) + 1 = 5$. Точка стыка — $(1, 5)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 5)$: луча прямой $y = 2x + 3$ при $x < 1$ и луча прямой $y = 4x + 1$ при $x \ge 1$.

6) $y = |\sin x| \cdot \operatorname{ctg} x$

ОДЗ: $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, значит $\sin x \ne 0$. Отсюда $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим функцию: $y = |\sin x| \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x > 0$ (т.е. $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$), то $|\sin x| = \sin x$. $y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.
2. Если $\sin x < 0$ (т.е. $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), то $|\sin x| = -\sin x$. $y = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\cos x$.

График функции состоит из фрагментов графиков $y = \cos x$ и $y = -\cos x$. В точках $x = \pi k$ функция не определена (на графике будут выколотые точки или разрывы). На интервале $(0, \pi)$ график совпадает с $y=\cos x$. На интервале $(\pi, 2\pi)$ график совпадает с $y=-\cos x$.

Ответ: График функции периодичен с периодом $2\pi$ и представляет собой "куски" косинусоиды: $y=\cos x$ на интервалах $(2\pi k, \pi+2\pi k)$ и $y=-\cos x$ на интервалах $(\pi+2\pi k, 2\pi+2\pi k)$. В точках $x=\pi k$ функция имеет разрывы.

7) $y = 1 + \frac{|\cos x|}{\cos x}$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $\cos x \ne 0$. Отсюда $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Раскроем модуль:
1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = 1 + \frac{\cos x}{\cos x} = 1 + 1 = 2$. Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = 1 + \frac{-\cos x}{\cos x} = 1 - 1 = 0$. Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции состоит из набора горизонтальных отрезков на уровнях $y=2$ и $y=0$. Концевые точки отрезков выколоты.

Ответ: График функции — это совокупность интервалов: $y=2$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{2}+2\pi k)$ и $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{3\pi}{2}+2\pi k)$.

8) $y = 1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$

ОДЗ: функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть определены.
Для $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ нужно, чтобы $\cos x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Для $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ нужно, чтобы $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \pi n$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$. Таким образом, функция упрощается до $y = 1 + 1 = 2$.

Графиком функции является прямая $y=2$, из которой "выколоты" точки с абсциссами $x = \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, 2)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть искомая общая касательная имеет уравнение $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться графиков обеих функций: $f(x) = 4x - x^2$ и $g(x) = -5 - 6x - x^2$.

Условие касания прямой и графика функции в некоторой точке заключается в том, что в этой точке их ординаты совпадают, а угловой коэффициент прямой равен значению производной функции в этой же точке.

Рассмотрим первую функцию $f(x) = 4x - x^2$. Пусть точка касания имеет абсциссу $x_1$.

Найдем производную: $f'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.

В точке $x_1$ угловой коэффициент касательной равен $k = f'(x_1) = 4 - 2x_1$.

Также в точке касания значения функции и касательной равны: $f(x_1) = kx_1 + b$.

Подставим известные выражения:

$4x_1 - x_1^2 = (4 - 2x_1)x_1 + b$

$4x_1 - x_1^2 = 4x_1 - 2x_1^2 + b$

Отсюда находим выражение для $b$ через $x_1$: $b = x_1^2$.

Теперь рассмотрим вторую функцию $g(x) = -5 - 6x - x^2$. Пусть точка касания имеет абсциссу $x_2$.

Найдем производную: $g'(x) = (-5 - 6x - x^2)' = -6 - 2x$.

В точке $x_2$ угловой коэффициент касательной равен $k = g'(x_2) = -6 - 2x_2$.

Значения функции и касательной в точке $x_2$ равны: $g(x_2) = kx_2 + b$.

Подставим выражения для $g(x_2)$ и $k$:

$-5 - 6x_2 - x_2^2 = (-6 - 2x_2)x_2 + b$

$-5 - 6x_2 - x_2^2 = -6x_2 - 2x_2^2 + b$

Отсюда находим выражение для $b$ через $x_2$: $b = x_2^2 - 5$.

Теперь у нас есть система уравнений для определения $k$ и $b$:

1) $k = 4 - 2x_1$

2) $b = x_1^2$

3) $k = -6 - 2x_2$

4) $b = x_2^2 - 5$

Приравнивая выражения для $k$ из (1) и (3), получаем:

$4 - 2x_1 = -6 - 2x_2$

$2x_1 - 2x_2 = 10$

$x_1 - x_2 = 5$, откуда $x_1 = x_2 + 5$.

Приравнивая выражения для $b$ из (2) и (4), получаем:

$x_1^2 = x_2^2 - 5$

Подставим в это уравнение $x_1 = x_2 + 5$:

$(x_2 + 5)^2 = x_2^2 - 5$

$x_2^2 + 10x_2 + 25 = x_2^2 - 5$

$10x_2 = -30$

$x_2 = -3$

Теперь найдем $x_1$: $x_1 = -3 + 5 = 2$.

Зная $x_1$ и $x_2$, можем найти коэффициенты $k$ и $b$.

Из уравнения (1): $k = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$.

Из уравнения (2): $b = 2^2 = 4$.

Итак, уравнение общей касательной $y = kx + b$ принимает вид $y = 0 \cdot x + 4$, то есть $y = 4$.

Ответ: $y = 4$.

1) $y = x^2, x = y^2$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $x = y^2$, сначала найдем точки их пересечения. Уравнение $x = y^2$ можно переписать как $y = \pm\sqrt{x}$. Так как фигура, ограниченная данными кривыми, находится в первом квадранте, мы будем рассматривать ветвь параболы $y = \sqrt{x}$. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $x^2 = \sqrt{x}$ Возведем обе части в квадрат: $(x^2)^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^4 = x$ $x^4 - x = 0$ $x(x^3 - 1) = 0$ Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Найдем соответствующие значения $y$: При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$. При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения $(1, 1)$.

Площадь фигуры будем вычислять с помощью определенного интеграла по оси $x$ в пределах от $0$ до $1$. В этом интервале необходимо определить, какая из функций является верхней (задает верхнюю границу области), а какая - нижней. Для этого возьмем любую пробную точку из интервала $(0, 1)$, например, $x = 1/4$: Для кривой $y = x^2$: $y = (1/4)^2 = 1/16$. Для кривой $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{1/4} = 1/2$. Поскольку $1/2 > 1/16$, функция $y = \sqrt{x}$ является верхней ($f_{top}(x)$), а $y = x^2$ - нижней ($f_{bottom}(x)$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f_{top}(x) - f_{bottom}(x)) dx$ $S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) dx$ Найдем первообразную для подынтегральной функции: $\int (x^{1/2} - x^2) dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3$ Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1}{3}(1)^3\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{1}{3}(0)^3\right) = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

2) $y = x^2 + 1, y = -\frac{1}{9}x^2 + 1, y = x + 3$

Фигура ограничена тремя кривыми: двумя параболами и прямой. Найдем их точки пересечения. 1. $y = x^2+1$ и $y = -\frac{1}{9}x^2+1$: $x^2+1 = -\frac{1}{9}x^2+1 \implies \frac{10}{9}x^2=0 \implies x=0$. Точка $(0, 1)$. 2. $y = x^2+1$ и $y=x+3$: $x^2+1 = x+3 \implies x^2-x-2=0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Точки $(-1, 2)$ и $(2, 5)$. 3. $y = -\frac{1}{9}x^2+1$ и $y=x+3$: $-\frac{1}{9}x^2+1 = x+3 \implies x^2+9x+18=0 \implies (x+3)(x+6)=0$. Точки $(-3, 0)$ и $(-6, -3)$.

Анализ расположения кривых показывает, что искомая область ограничена сверху прямой $y = x + 3$. Нижняя граница области состоит из двух частей: - на отрезке $[-3, 0]$ нижняя граница — парабола $y = -\frac{1}{9}x^2+1$. - на отрезке $[0, 2]$ нижняя граница — парабола $y = x^2+1$. Точка $x=0$ является точкой, где нижняя граница переходит с одной параболы на другую. Таким образом, для вычисления площади необходимо разбить интеграл на две части.

$S = S_1 + S_2 = \int_{-3}^{0} \left((x+3) - \left(-\frac{1}{9}x^2+1\right)\right)dx + \int_{0}^{2} \left((x+3) - (x^2+1)\right)dx$ $S = \int_{-3}^{0} \left(\frac{1}{9}x^2 + x + 2\right)dx + \int_{0}^{2} \left(-x^2 + x + 2\right)dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \left[ \frac{1}{9}\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-3}^{0} = \left[ \frac{x^3}{27} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-3}^{0}$ $S_1 = (0) - \left(\frac{(-3)^3}{27} + \frac{(-3)^2}{2} + 2(-3)\right) = -\left(\frac{-27}{27} + \frac{9}{2} - 6\right) = -(-1 + 4.5 - 6) = -(-2.5) = 2.5 = \frac{5}{2}$.

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{2}$ $S_2 = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2)\right) - (0) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18-8}{3} = \frac{10}{3}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{35}{6}$.

Ответ: $35/6$

3) $y^2 = x, y = 9x$

Найдем точки пересечения параболы $y^2=x$ и прямой $y=9x$. Подставим $y=9x$ в уравнение параболы: $(9x)^2 = x$ $81x^2 = x$ $81x^2 - x = 0$ $x(81x - 1) = 0$ Решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/81$. Соответствующие значения $y$: При $x_1=0$, $y_1=9(0)=0$. Точка $(0,0)$. При $x_2=1/81$, $y_2=9(1/81)=1/9$. Точка $(1/81, 1/9)$. Ограниченная область находится в первом квадранте.

Для вычисления площади удобнее интегрировать по оси $y$. Выразим $x$ через $y$: $x = y^2$ $x = y/9$ Пределы интегрирования по $y$ будут от $0$ до $1/9$. В этом интервале определим, какая функция является правой ($x_{right}$), а какая левой ($x_{left}$). Возьмем пробную точку $y=1/10$: Для $x=y^2$: $x=(1/10)^2 = 1/100$. Для $x=y/9$: $x=(1/10)/9 = 1/90$. Так как $1/90 > 1/100$, функция $x=y/9$ является правой.

Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{c}^{d} (x_{right}(y) - x_{left}(y)) dy$ $S = \int_{0}^{1/9} \left(\frac{y}{9} - y^2\right) dy$ Найдем первообразную: $\int \left(\frac{y}{9} - y^2\right) dy = \frac{1}{9}\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} = \frac{y^2}{18} - \frac{y^3}{3}$ Вычислим определенный интеграл: $S = \left[ \frac{y^2}{18} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1/9} = \left(\frac{(1/9)^2}{18} - \frac{(1/9)^3}{3}\right) - 0 = \frac{1/81}{18} - \frac{1/729}{3} = \frac{1}{1458} - \frac{1}{2187}$ Приведем к общему знаменателю. $1458 = 2 \cdot 3^6$, $2187 = 3^7$. Общий знаменатель $2 \cdot 3^7 = 4374$. $S = \frac{3}{4374} - \frac{2}{4374} = \frac{1}{4374}$.

Ответ: $1/4374$

4) $y = -\frac{1}{x^2}, y = x^3, y = -4$

Найдем точки пересечения заданных кривых. 1. $y = -1/x^2$ и $y = -4$: $-1/x^2 = -4 \implies x^2 = 1/4 \implies x = \pm 1/2$. Точки $(-1/2, -4)$ и $(1/2, -4)$. 2. $y = x^3$ и $y = -4$: $x^3 = -4 \implies x = -\sqrt[3]{4}$. Точка $(-\sqrt[3]{4}, -4)$. 3. $y = -1/x^2$ и $y = x^3$: $-1/x^2 = x^3 \implies x^5 = -1 \implies x = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Анализ взаимного расположения кривых показывает, что искомая фигура представляет собой единую область, ограниченную снизу прямой $y=-4$. Верхняя граница области состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(-1,-1)$: - На отрезке $[-\sqrt[3]{4}, -1]$ верхняя граница — кубическая парабола $y = x^3$. - На отрезке $[-1, -1/2]$ верхняя граница — кривая $y = -1/x^2$. Площадь фигуры найдем как сумму двух интегралов.

$S = S_1 + S_2 = \int_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} (x^3 - (-4)) dx + \int_{-1}^{-1/2} \left(-\frac{1}{x^2} - (-4)\right) dx$ $S = \int_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} (x^3 + 4) dx + \int_{-1}^{-1/2} (4 - x^{-2}) dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} + 4x \right]_{-\sqrt[3]{4}}^{-1} = \left(\frac{(-1)^4}{4} + 4(-1)\right) - \left(\frac{(-\sqrt[3]{4})^4}{4} + 4(-\sqrt[3]{4})\right)$ $S_1 = \left(\frac{1}{4} - 4\right) - \left(\frac{4^{4/3}}{4} - 4\sqrt[3]{4}\right) = -\frac{15}{4} - (4^{1/3} - 4 \cdot 4^{1/3}) = -\frac{15}{4} - (-3\sqrt[3]{4}) = 3\sqrt[3]{4} - \frac{15}{4}$.

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \left[ 4x - \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{-1}^{-1/2} = \left[ 4x + \frac{1}{x} \right]_{-1}^{-1/2}$ $S_2 = \left(4\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{-1/2}\right) - \left(4(-1) + \frac{1}{-1}\right) = (-2 - 2) - (-4 - 1) = -4 - (-5) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{15}{4} + 1 = 3\sqrt[3]{4} - \frac{11}{4}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{4} - \frac{11}{4}$