Номер 439, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $y = 16^{\log_{4} x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

Далее упростим данное функциональное выражение. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a}b} = b$ и свойства степеней: $y = 16^{\log_{4} x} = (4^2)^{\log_{4} x} = 4^{2\log_{4} x} = 4^{\log_{4} (x^2)}$.

Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $y = x^2$.

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ с учетом ОДЗ $x > 0$. Это правая ветвь параболы с вершиной в начале координат. Сама точка $(0,0)$ не принадлежит графику, поэтому она изображается "выколотой".

Ответ: Графиком функции является правая ветвь параболы $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0,0)$.

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{5} x}$

ОДЗ функции определяется условием $x > 0$.

Упростим выражение: $y = \left(5^{-1}\right)^{\log_{5} x} = 5^{-\log_{5} x} = 5^{\log_{5} (x^{-1})}$.

По основному логарифмическому тождеству: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Следовательно, строим график функции $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первом координатном углу.

Ответ: Графиком функции является ветвь гиперболы $y = 1/x$, расположенная в I координатной четверти.

3) $y = 10^{\lg(3 - 2x + x^2)}$

ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x^2 - 2x + 3 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), трехчлен $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Так как $\lg$ — это десятичный логарифм ($\log_{10}$), то по основному логарифмическому тождеству: $y = x^2 - 2x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем координаты вершины: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. $y_v = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x + 3$ с вершиной в точке $(1, 2)$.

4) $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{3/2}(1-x)}$

ОДЗ: $1-x > 0$, откуда $x < 1$.

Воспользуемся свойством $a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}$. Тогда: $y = (1-x)^{\log_{3/2}(2/3)}$.

Найдем значение показателя степени: $\log_{3/2}(2/3) = \log_{3/2}((3/2)^{-1}) = -1$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = (1-x)^{-1} = \frac{1}{1-x}$.

Строим график функции $y = \frac{1}{1-x}$ при $x < 1$. Это ветвь гиперболы с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.

Ответ: Графиком является левая ветвь гиперболы $y=1/(1-x)$ с вертикальной асимптотой $x=1$.

5) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + 3x + 2$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Упростим функцию: $y = \sqrt{(x-1)^2} + 3x + 2 = |x-1| + 3x + 2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x-1 \ge 0$ (т.е. $x \ge 1$), то $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = (x-1) + 3x + 2 = 4x + 1$.
2. Если $x-1 < 0$ (т.е. $x < 1$), то $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = (1-x) + 3x + 2 = 2x + 3$.

Итак, $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x < 1 \\ 4x+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$. График состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Найдем точку "стыка" при $x=1$: $y(1) = 4(1) + 1 = 5$. Точка стыка — $(1, 5)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(1, 5)$: луча прямой $y = 2x + 3$ при $x < 1$ и луча прямой $y = 4x + 1$ при $x \ge 1$.

6) $y = |\sin x| \cdot \operatorname{ctg} x$

ОДЗ: $\operatorname{ctg} x$ должен быть определен, значит $\sin x \ne 0$. Отсюда $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим функцию: $y = |\sin x| \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x > 0$ (т.е. $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$), то $|\sin x| = \sin x$. $y = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$.
2. Если $\sin x < 0$ (т.е. $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), то $|\sin x| = -\sin x$. $y = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\cos x$.

График функции состоит из фрагментов графиков $y = \cos x$ и $y = -\cos x$. В точках $x = \pi k$ функция не определена (на графике будут выколотые точки или разрывы). На интервале $(0, \pi)$ график совпадает с $y=\cos x$. На интервале $(\pi, 2\pi)$ график совпадает с $y=-\cos x$.

Ответ: График функции периодичен с периодом $2\pi$ и представляет собой "куски" косинусоиды: $y=\cos x$ на интервалах $(2\pi k, \pi+2\pi k)$ и $y=-\cos x$ на интервалах $(\pi+2\pi k, 2\pi+2\pi k)$. В точках $x=\pi k$ функция имеет разрывы.

7) $y = 1 + \frac{|\cos x|}{\cos x}$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $\cos x \ne 0$. Отсюда $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Раскроем модуль:
1. Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = 1 + \frac{\cos x}{\cos x} = 1 + 1 = 2$. Это происходит при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$.
2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = 1 + \frac{-\cos x}{\cos x} = 1 - 1 = 0$. Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

График функции состоит из набора горизонтальных отрезков на уровнях $y=2$ и $y=0$. Концевые точки отрезков выколоты.

Ответ: График функции — это совокупность интервалов: $y=2$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{\pi}{2}+2\pi k)$ и $y=0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2}+2\pi k, \frac{3\pi}{2}+2\pi k)$.

8) $y = 1 + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x$

ОДЗ: функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть определены.
Для $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ нужно, чтобы $\cos x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Для $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ нужно, чтобы $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \pi n$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На области определения $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$. Таким образом, функция упрощается до $y = 1 + 1 = 2$.

Графиком функции является прямая $y=2$, из которой "выколоты" точки с абсциссами $x = \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, 2)$, где $k \in \mathbb{Z}$.