Номер 446, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функция: $f(x) = 20 \cdot 5^{\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) - 1}$.

Функцияның ең кіші және ең үлкен мәндерін табу үшін, алдымен дәреже көрсеткішінің мәндер облысын анықтайық. Дәреже көрсеткіші $g(x) = \sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) - 1$ өрнегімен берілген.

$a\sin\alpha + b\cos\alpha$ түріндегі тригонометриялық өрнекті түрлендіру үшін қосымша аргумент енгізу әдісін қолданамыз. Бұл өрнекті $\sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi)$ түріне келтіруге болады.

Біздің жағдайда, $\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x)$ өрнегі үшін $a=1$ және $b=\sqrt{3}$.

Амплитуданы табамыз: $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Өрнектен 2-ні жақша сыртына шығарамыз:

$\sin(3x) + \sqrt{3}\cos(3x) = 2 \left( \frac{1}{2}\sin(3x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(3x) \right)$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ және $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ екенін ескеріп, синустың қосынды формуласын $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ қолданамыз:

$2 \left( \sin(3x)\cos\frac{\pi}{3} + \cos(3x)\sin\frac{\pi}{3} \right) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Енді дәреже көрсеткіші $g(x)$ үшін өрнекті жазамыз:

$g(x) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Кез келген аргумент үшін синус функциясының мәндері $[-1; 1]$ аралығында жататыны белгілі:

$-1 \le \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$.

Осыдан $g(x)$ өрнегінің мәндер облысын табамыз. Ол үшін теңсіздіктің барлық жағын 2-ге көбейтіп, одан 1-ді аламыз:

$2(-1) - 1 \le 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) - 1 \le 2(1) - 1$

$-2 - 1 \le g(x) \le 2 - 1$

$-3 \le g(x) \le 1$.

Демек, дәреже көрсеткішінің ең кіші мәні -3, ал ең үлкен мәні 1.

Енді $f(x) = 20 \cdot 5^{g(x)}$ функциясының мәндер облысын табамыз. Көрсеткіштік функцияның негізі $5 > 1$ болғандықтан, функция монотонды өспелі болады. Сондықтан, $f(x)$ функциясының ең кіші мәні $g(x)$-тің ең кіші мәніне, ал ең үлкен мәні $g(x)$-тің ең үлкен мәніне сәйкес келеді.

Функцияның ең кіші мәні:

$f_{\text{ең кіші}} = 20 \cdot 5^{-3} = 20 \cdot \frac{1}{5^3} = 20 \cdot \frac{1}{125} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25} = 0.16$.

Функцияның ең үлкен мәні:

$f_{\text{ең үлкен}} = 20 \cdot 5^{1} = 20 \cdot 5 = 100$.

Сонымен, $f(x)$ функциясының мәндер облысы $[0.16; 100]$ аралығы болады.

Есептің шарты бойынша функцияның ең кіші және ең үлкен бүтін мәндерін табу керек.

Функцияның ең кіші бүтін мәні: $[0.16; 100]$ аралығындағы ең кіші бүтін сан 1-ге тең.

Функцияның ең үлкен бүтін мәні: $[0.16; 100]$ аралығындағы ең үлкен бүтін сан 100-ге тең.

Ответ: ең кіші бүтін мәні - 1, ең үлкен бүтін мәні - 100.