Номер 450, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для вычисления интеграла $\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2x)dx$ используем формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = 2x$, поэтому $\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$.
$\int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2x)dx = \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(4x)}{2}dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(4x))dx$
Найдем первообразную:$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right)$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_{-\pi}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot \frac{\pi}{2})\right) - \left(-\pi - \frac{1}{4}\sin(4 \cdot (-\pi))\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi)\right) - \left(-\pi - \frac{1}{4}\sin(-4\pi)\right) \right)$
Так как $\sin(2\pi) = 0$ и $\sin(-4\pi) = 0$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - 0\right) - (-\pi - 0) \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos x dx$ используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin(2x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx$
Найдем первообразную и применим пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{4} \left[ \cos(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$= -\frac{1}{4} \left( \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(2 \cdot 0) \right) = -\frac{1}{4} (\cos(\pi) - \cos(0))$
$= -\frac{1}{4} (-1 - 1) = -\frac{1}{4} (-2) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 3x \cdot \cos 2x dx$ используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.
$\cos 3x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(3x+2x) + \cos(3x-2x)) = \frac{1}{2}(\cos(5x) + \cos x)$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}(\cos 5x + \cos x)dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5}\sin 5x + \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{5}\sin(5 \cdot \frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{5}\sin(0) + \sin(0) \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}\sin(\frac{5\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{3}) \right)$
Так как $\sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{10} + \frac{5\sqrt{3}}{10} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4\sqrt{3}}{10} \right) = \frac{2\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin 2x \cdot \cos 3x dx$ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$.
$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)$.
$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos 5x - (-\cos x) \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left[ \cos x - \frac{1}{5}\cos 5x \right]_{0}^{\pi}$
Подставляем пределы интегрирования:
$= \frac{1}{2} \left( \left( \cos(\pi) - \frac{1}{5}\cos(5\pi) \right) - \left( \cos(0) - \frac{1}{5}\cos(0) \right) \right)$
Так как $\cos(\pi) = -1$, $\cos(5\pi) = -1$ и $\cos(0) = 1$, получаем:
$= \frac{1}{2} \left( \left( -1 - \frac{1}{5}(-1) \right) - \left( 1 - \frac{1}{5}(1) \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left( -1 + \frac{1}{5} \right) - \left( 1 - \frac{1}{5} \right) \right)$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{8}{5} \right) = -\frac{4}{5}$.
Ответ: $-\frac{4}{5}$