Номер 448, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

448. Периметрі 56 см болатын тіктөртбұрышты ауданы ең үлкен болатындай етіп дөңгелекке іштей салу үшін дөңгелектің радиусы қандай болу керек?

Есепті шешу үшін екі негізгі қадамды орындаймыз: біріншіден, берілген периметр бойынша ауданы ең үлкен болатын тіктөртбұрыштың түрін және өлшемдерін анықтаймыз, екіншіден, сол тіктөртбұрышты іштей сызуға болатын дөңгелектің радиусын табамыз.

1. Ауданы ең үлкен тіктөртбұрышты анықтау
Тіктөртбұрыштың қабырғаларын $a$ және $b$ деп белгілейік. Оның периметрі $P = 2(a + b)$.
Есептің шарты бойынша $P = 56$ см, олай болса:
$2(a + b) = 56$
$a + b = 28$
Тіктөртбұрыштың ауданы $S = a \cdot b$.
Белгіленген периметрге ие тіктөртбұрыштардың ішінде ауданы ең үлкен болатыны – шаршы (квадрат), яғни оның барлық қабырғалары тең ($a=b$).
Осыдан, $a + a = 28 \implies 2a = 28 \implies a = 14$ см.
Демек, біздің жағдайдағы тіктөртбұрыш – бұл қабырғасы 14 см-ге тең шаршы.

2. Дөңгелектің радиусын табу
Шаршы дөңгелекке іштей сызылған кезде, шаршының диагоналі ($d$) дөңгелектің диаметріне ($D=2R$) тең болады. Мұндағы $R$ – дөңгелектің радиусы.

Шаршының диагоналін Пифагор теоремасы арқылы табамыз:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
$a = 14$ см екенін ескеріп, мәнін орнына қоямыз:
$d = 14\sqrt{2}$ см.
Дөңгелектің диаметрі шаршының диагоналіне тең болғандықтан:
$D = d = 14\sqrt{2}$ см.
Енді дөңгелектің радиусын есептейміз:
$R = \frac{D}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

Ответ: $7\sqrt{2}$ см.