Номер 447, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Для нахождения экстремумов функции $y = e^{-x} - e^{-2x}$ необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$y' = (e^{-x} - e^{-2x})' = (e^{-x})' - (e^{-2x})' = e^{-x} \cdot (-1) - e^{-2x} \cdot (-2) = -e^{-x} + 2e^{-2x}$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0$

$-e^{-x} + 2e^{-2x} = 0$

$2e^{-2x} = e^{-x}$

Поскольку $e^{-x} > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $e^{-x}$:

$\frac{2e^{-2x}}{e^{-x}} = 1$

$2e^{-2x - (-x)} = 1$

$2e^{-x} = 1$

$e^{-x} = \frac{1}{2}$

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln(e^{-x}) = \ln(\frac{1}{2})$

$-x = \ln(1) - \ln(2)$

$-x = -\ln(2)$

$x = \ln(2)$

Мы получили одну критическую точку. Исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; \ln(2))$ и $(\ln(2); +\infty)$.

Представим производную в виде $y' = e^{-2x}(2 - e^x)$. Так как множитель $e^{-2x}$ всегда положителен, знак производной определяется знаком выражения $(2 - e^x)$.

• На интервале $(-\infty; \ln(2))$, если взять, например, $x=0$, то $y'(0) = -e^0 + 2e^0 = -1+2 = 1 > 0$. Значит, функция возрастает.
• На интервале $(\ln(2); +\infty)$, если взять, например, $x=\ln(3)$, то $e^x = 3 > 2$, значит $2-e^x < 0$ и $y' < 0$. Значит, функция убывает.

Поскольку в точке $x = \ln(2)$ производная меняет знак с "+" на "-", эта точка является точкой максимума.

Найдем значение функции в этой точке (значение экстремума):

$y_{max} = y(\ln(2)) = e^{-\ln(2)} - e^{-2\ln(2)} = e^{\ln(2^{-1})} - e^{\ln(2^{-2})} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = \ln(2)$, значение максимума $y_{max} = \frac{1}{4}$.

2)

Для нахождения экстремумов функции $y = x^2 \cdot e^{-x}$ найдем ее производную.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2 \cdot e^{-x})' = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})' = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x}$.

Вынесем общий множитель $xe^{-x}$ за скобки:

$y' = xe^{-x}(2 - x)$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$y' = 0$

$xe^{-x}(2 - x) = 0$

Так как $e^{-x}$ никогда не равно нулю, то получаем:

$x(2 - x) = 0$

Отсюда находим две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Знак $y'$ определяется знаком выражения $x(2-x)$, так как $e^{-x} > 0$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: $x < 0$, $2-x > 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 2)$: $x > 0$, $2-x > 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$: $x > 0$, $2-x < 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает.

Анализируя смену знаков производной, делаем выводы:

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.

Найдем значения функции в этих точках (значения экстремумов):

Значение в точке минимума: $y_{min} = y(0) = 0^2 \cdot e^{-0} = 0 \cdot 1 = 0$.

Значение в точке максимума: $y_{max} = y(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$, значение минимума $y_{min} = 0$; точка максимума $x_{max} = 2$, значение максимума $y_{max} = \frac{4}{e^2}$.