Номер 440, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Пусть искомая общая касательная имеет уравнение $y = kx + b$. Эта прямая должна касаться графиков обеих функций: $f(x) = 4x - x^2$ и $g(x) = -5 - 6x - x^2$.

Условие касания прямой и графика функции в некоторой точке заключается в том, что в этой точке их ординаты совпадают, а угловой коэффициент прямой равен значению производной функции в этой же точке.

Рассмотрим первую функцию $f(x) = 4x - x^2$. Пусть точка касания имеет абсциссу $x_1$.

Найдем производную: $f'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.

В точке $x_1$ угловой коэффициент касательной равен $k = f'(x_1) = 4 - 2x_1$.

Также в точке касания значения функции и касательной равны: $f(x_1) = kx_1 + b$.

Подставим известные выражения:

$4x_1 - x_1^2 = (4 - 2x_1)x_1 + b$

$4x_1 - x_1^2 = 4x_1 - 2x_1^2 + b$

Отсюда находим выражение для $b$ через $x_1$: $b = x_1^2$.

Теперь рассмотрим вторую функцию $g(x) = -5 - 6x - x^2$. Пусть точка касания имеет абсциссу $x_2$.

Найдем производную: $g'(x) = (-5 - 6x - x^2)' = -6 - 2x$.

В точке $x_2$ угловой коэффициент касательной равен $k = g'(x_2) = -6 - 2x_2$.

Значения функции и касательной в точке $x_2$ равны: $g(x_2) = kx_2 + b$.

Подставим выражения для $g(x_2)$ и $k$:

$-5 - 6x_2 - x_2^2 = (-6 - 2x_2)x_2 + b$

$-5 - 6x_2 - x_2^2 = -6x_2 - 2x_2^2 + b$

Отсюда находим выражение для $b$ через $x_2$: $b = x_2^2 - 5$.

Теперь у нас есть система уравнений для определения $k$ и $b$:

1) $k = 4 - 2x_1$

2) $b = x_1^2$

3) $k = -6 - 2x_2$

4) $b = x_2^2 - 5$

Приравнивая выражения для $k$ из (1) и (3), получаем:

$4 - 2x_1 = -6 - 2x_2$

$2x_1 - 2x_2 = 10$

$x_1 - x_2 = 5$, откуда $x_1 = x_2 + 5$.

Приравнивая выражения для $b$ из (2) и (4), получаем:

$x_1^2 = x_2^2 - 5$

Подставим в это уравнение $x_1 = x_2 + 5$:

$(x_2 + 5)^2 = x_2^2 - 5$

$x_2^2 + 10x_2 + 25 = x_2^2 - 5$

$10x_2 = -30$

$x_2 = -3$

Теперь найдем $x_1$: $x_1 = -3 + 5 = 2$.

Зная $x_1$ и $x_2$, можем найти коэффициенты $k$ и $b$.

Из уравнения (1): $k = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0$.

Из уравнения (2): $b = 2^2 = 4$.

Итак, уравнение общей касательной $y = kx + b$ принимает вид $y = 0 \cdot x + 4$, то есть $y = 4$.

Ответ: $y = 4$.