Номер 429, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$. В качестве нового основания $z$ удобно выбрать 3, так как по условию даны значения логарифмов по основанию 3: $log_3 2 = a$, $log_3 5 = b$, $log_3 7 = c$. Также будем использовать свойства логарифма: $log_k(mn) = log_k(m) + log_k(n)$ и $log_k(m^p) = p \cdot log_k(m)$.

log₂₇₀ 350

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{270} 350 = \frac{log_3 350}{log_3 270}$

Разложим числа 350 и 270 на простые множители:

$350 = 35 \times 10 = (5 \times 7) \times (2 \times 5) = 2 \times 5^2 \times 7$

$270 = 27 \times 10 = 3^3 \times 2 \times 5$

Теперь выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 350 = log_3(2 \times 5^2 \times 7) = log_3 2 + log_3 5^2 + log_3 7 = log_3 2 + 2log_3 5 + log_3 7 = a + 2b + c$

$log_3 270 = log_3(3^3 \times 2 \times 5) = log_3 3^3 + log_3 2 + log_3 5 = 3 \cdot log_3 3 + log_3 2 + log_3 5 = 3 + a + b$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{270} 350 = \frac{a + 2b + c}{3 + a + b}$

Ответ: $\frac{a + 2b + c}{a + b + 3}$

log₄₉₀ 1250

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{490} 1250 = \frac{log_3 1250}{log_3 490}$

Разложим числа 1250 и 490 на простые множители:

$1250 = 125 \times 10 = 5^3 \times (2 \times 5) = 2 \times 5^4$

$490 = 49 \times 10 = 7^2 \times (2 \times 5) = 2 \times 5 \times 7^2$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 1250 = log_3(2 \times 5^4) = log_3 2 + log_3 5^4 = log_3 2 + 4log_3 5 = a + 4b$

$log_3 490 = log_3(2 \times 5 \times 7^2) = log_3 2 + log_3 5 + log_3 7^2 = log_3 2 + log_3 5 + 2log_3 7 = a + b + 2c$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{490} 1250 = \frac{a + 4b}{a + b + 2c}$

Ответ: $\frac{a + 4b}{a + b + 2c}$

log₂₈₀ 105

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{280} 105 = \frac{log_3 105}{log_3 280}$

Разложим числа 105 и 280 на простые множители:

$105 = 3 \times 35 = 3 \times 5 \times 7$

$280 = 28 \times 10 = (4 \times 7) \times (2 \times 5) = (2^2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 5 \times 7$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 105 = log_3(3 \times 5 \times 7) = log_3 3 + log_3 5 + log_3 7 = 1 + b + c$

$log_3 280 = log_3(2^3 \times 5 \times 7) = log_3 2^3 + log_3 5 + log_3 7 = 3log_3 2 + log_3 5 + log_3 7 = 3a + b + c$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{280} 105 = \frac{1 + b + c}{3a + b + c}$

Ответ: $\frac{1 + b + c}{3a + b + c}$

log₉₀ 315

Применим формулу перехода к основанию 3:

$log_{90} 315 = \frac{log_3 315}{log_3 90}$

Разложим числа 315 и 90 на простые множители:

$315 = 5 \times 63 = 5 \times (9 \times 7) = 3^2 \times 5 \times 7$

$90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 2 \times 5$

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$, $b$ и $c$:

$log_3 315 = log_3(3^2 \times 5 \times 7) = log_3 3^2 + log_3 5 + log_3 7 = 2 \cdot log_3 3 + log_3 5 + log_3 7 = 2 + b + c$

$log_3 90 = log_3(3^2 \times 2 \times 5) = log_3 3^2 + log_3 2 + log_3 5 = 2 \cdot log_3 3 + log_3 2 + log_3 5 = 2 + a + b$

Подставим полученные выражения в исходную формулу:

$log_{90} 315 = \frac{2 + b + c}{2 + a + b}$

Ответ: $\frac{2 + b + c}{2 + a + b}$