Номер 427, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Вычислим значение выражения $625^{0,75} \cdot 243^{-0,4} - 8^{\frac{2}{3}} \cdot 27^{\frac{1}{3}} + 289^{0,5}$.
Сначала преобразуем каждое слагаемое, представив основания в виде степеней простых чисел, а показатели в виде обыкновенных дробей:
$625^{0,75} = (5^4)^{\frac{3}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 5^3 = 125$.
$243^{-0,4} = (3^5)^{-\frac{2}{5}} = 3^{5 \cdot (-\frac{2}{5})} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$.
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
$289^{0,5} = (17^2)^{\frac{1}{2}} = 17^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 17^1 = 17$.
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$125 \cdot \frac{1}{9} - 4 \cdot 3 + 17 = \frac{125}{9} - 12 + 17 = \frac{125}{9} + 5 = \frac{125}{9} + \frac{45}{9} = \frac{125 + 45}{9} = \frac{170}{9}$.
Ответ: $\frac{170}{9}$

2) Вычислим значение выражения $((5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} - 81^{-0,25}) \cdot (16^{-0,25} + 36^{0,5})$.
Упростим выражение в первой скобке:
$(5\sqrt{5})^{-\frac{2}{3}} = (5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (5^{1+\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{3}} = (5^{\frac{3}{2}})^{-\frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{2}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
$81^{-0,25} = (3^4)^{-\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Значение первой скобки: $\frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3-5}{15} = -\frac{2}{15}$.
Упростим выражение во второй скобке:
$16^{-0,25} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
$36^{0,5} = (6^2)^{\frac{1}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 6^1 = 6$.
Значение второй скобки: $\frac{1}{2} + 6 = \frac{1+12}{2} = \frac{13}{2}$.
Теперь перемножим результаты:
$(-\frac{2}{15}) \cdot \frac{13}{2} = -\frac{2 \cdot 13}{15 \cdot 2} = -\frac{13}{15}$.
Ответ: $-\frac{13}{15}$

3) Вычислим значение выражения $((0,16)^{-5} \cdot ((6,25)^{-3})^2) : ((0,4)^{-2} \cdot (2,5)^{-4})$.
Представим десятичные дроби в виде степеней одного числа, например $0,4 = \frac{2}{5}$:
$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2 = (0,4)^2$.
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = ((\frac{2}{5})^{-1})^2 = (0,4)^{-2}$.
$2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1} = (0,4)^{-1}$.
Подставим эти значения в выражение:
$(( (0,4)^2 )^{-5} \cdot ( ( (0,4)^{-2} )^{-3} )^2 ) : ( (0,4)^{-2} \cdot ( (0,4)^{-1} )^{-4} )$.
Упростим делимое, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(0,4)^{-10} \cdot ( (0,4)^6 )^2 = (0,4)^{-10} \cdot (0,4)^{12} = (0,4)^{-10+12} = (0,4)^2$.
Упростим делитель:
$(0,4)^{-2} \cdot (0,4)^4 = (0,4)^{-2+4} = (0,4)^2$.
Выполним деление:
$(0,4)^2 : (0,4)^2 = 1$.
Ответ: $1$

4) Вычислим значение выражения $36^{\log_6 3 + \log_{\sqrt{6}} 3 - \frac{1}{2}\log_{36} 81}$.
Упростим показатель степени, приведя все логарифмы к основанию 6:
$\log_{\sqrt{6}} 3 = \frac{\log_6 3}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_6 3}{\log_6 6^{\frac{1}{2}}} = \frac{\log_6 3}{\frac{1}{2}} = 2\log_6 3$.
$\log_{36} 81 = \frac{\log_6 81}{\log_6 36} = \frac{\log_6 3^4}{\log_6 6^2} = \frac{4\log_6 3}{2} = 2\log_6 3$.
Подставим преобразованные логарифмы в показатель степени:
$\log_6 3 + 2\log_6 3 - \frac{1}{2}(2\log_6 3) = \log_6 3 + 2\log_6 3 - \log_6 3 = 2\log_6 3$.
Теперь вычислим значение всего выражения:
$36^{2\log_6 3} = (6^2)^{2\log_6 3} = 6^{4\log_6 3} = 6^{\log_6 3^4} = 3^4 = 81$.
Ответ: $81$

5) Вычислим значение выражения $125^{\frac{1}{3}\log_5 2 - \log_{125} 2}$.
Упростим показатель степени. Приведем второй логарифм к основанию 5, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_{125} 2 = \frac{\log_5 2}{\log_5 125} = \frac{\log_5 2}{\log_5 5^3} = \frac{\log_5 2}{3} = \frac{1}{3}\log_5 2$.
Подставим это в показатель степени:
$\frac{1}{3}\log_5 2 - \frac{1}{3}\log_5 2 = 0$.
Теперь вычислим значение всего выражения:
$125^0 = 1$.
Ответ: $1$

6) Вычислим значение выражения $7^{\log_{\sqrt{7}} 4 - \log_7 2 + 2\log_7 3}$.
Упростим показатель степени, приведя все логарифмы к основанию 7:
$\log_{\sqrt{7}} 4 = \frac{\log_7 4}{\log_7 \sqrt{7}} = \frac{\log_7 4}{\log_7 7^{\frac{1}{2}}} = \frac{\log_7 4}{\frac{1}{2}} = 2\log_7 4$.
Теперь показатель степени равен:
$2\log_7 4 - \log_7 2 + 2\log_7 3$.
Используя свойства логарифмов ($k\log_b a = \log_b a^k$, $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$, $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$), объединим слагаемые:
$\log_7 4^2 - \log_7 2 + \log_7 3^2 = \log_7 16 - \log_7 2 + \log_7 9 = \log_7 \frac{16 \cdot 9}{2} = \log_7(8 \cdot 9) = \log_7 72$.
Подставим полученный показатель в исходное выражение:
$7^{\log_7 72} = 72$.
Ответ: $72$

7) Вычислим значение выражения $\sqrt{16^{\frac{1}{\log_6 4}} + 25^{\frac{1}{\log_8 5}}}$.
Упростим показатели степеней, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_6 4} = \log_4 6$.
$\frac{1}{\log_8 5} = \log_5 8$.
Выражение принимает вид:
$\sqrt{16^{\log_4 6} + 25^{\log_5 8}}$.
Упростим каждое слагаемое под корнем, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$16^{\log_4 6} = (4^2)^{\log_4 6} = 4^{2\log_4 6} = 4^{\log_4 6^2} = 6^2 = 36$.
$25^{\log_5 8} = (5^2)^{\log_5 8} = 5^{2\log_5 8} = 5^{\log_5 8^2} = 8^2 = 64$.
Подставим вычисленные значения под корень:
$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $10$

8) Вычислим значение выражения $15 \log_{\frac{1}{6}} (\sqrt[5]{6} \cdot \frac{1}{36} \cdot 11^{\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36}})$.
Решим по частям, начиная с самого внутреннего выражения.
1. Упростим $11^{\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36}}$.
Преобразуем показатель степени: $\log_{\sqrt{11}} \sqrt[3]{36} = \log_{11^{1/2}} 36^{1/3} = \frac{1/3}{1/2}\log_{11} 36 = \frac{2}{3}\log_{11} 36 = \log_{11} (36^{2/3})$.
Тогда $11^{\log_{11} (36^{2/3})} = 36^{2/3}$.
2. Упростим аргумент логарифма $\log_{\frac{1}{6}}$:
$\sqrt[5]{6} \cdot \frac{1}{36} \cdot 36^{2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1} \cdot 36^{2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1+2/3} = 6^{1/5} \cdot 36^{-1/3} = 6^{1/5} \cdot (6^2)^{-1/3} = 6^{1/5} \cdot 6^{-2/3} = 6^{1/5 - 2/3} = 6^{3/15 - 10/15} = 6^{-7/15}$.
3. Теперь вычислим логарифм:
$\log_{\frac{1}{6}} (6^{-7/15}) = \log_{6^{-1}} (6^{-7/15}) = \frac{-7/15}{-1}\log_6 6 = \frac{7}{15}$.
4. Наконец, умножим результат на 15:
$15 \cdot \frac{7}{15} = 7$.
Ответ: $7$