Страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық болжамы (күтімі) $E(X)$ оның барлық мүмкін мәндерінің ($x_i$) сәйкес ықтималдықтарына ($p_i$) көбейтінділерінің қосындысымен анықталады.
Математикалық болжамды табу формуласы: $E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.
Берілген таралу заңы үшін:
$x_1=4$ мәнінің ықтималдығы $p_1=0,2$.
$x_2=6$ мәнінің ықтималдығы $p_2=0,3$.
$x_3=10$ мәнінің ықтималдығы $p_3=0,5$.
(Ықтималдықтардың қосындысы: $0,2 + 0,3 + 0,5 = 1$, бұл таралу заңының дұрыстығын көрсетеді).
Математикалық болжамды есептейміз:
$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 4 \cdot 0,2 + 6 \cdot 0,3 + 10 \cdot 0,5$
$E(X) = 0,8 + 1,8 + 5,0 = 7,6$
Ответ: 7,6.

2) Осыған ұқсас, екінші таралу заңы үшін математикалық болжамды есептейміз.
Берілген таралу заңы үшін:
$x_1=0,21$ мәнінің ықтималдығы $p_1=0,1$.
$x_2=0,54$ мәнінің ықтималдығы $p_2=0,5$.
$x_3=0,61$ мәнінің ықтималдығы $p_3=0,4$.
(Ықтималдықтардың қосындысы: $0,1 + 0,5 + 0,4 = 1$).
Математикалық болжамды есептейміз:
$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 = 0,21 \cdot 0,1 + 0,54 \cdot 0,5 + 0,61 \cdot 0,4$
$E(X) = 0,021 + 0,270 + 0,244 = 0,535$
Ответ: 0,535.

Берілген есепті шешу үшін дискретті кездейсоқ шаманың қасиеттерін қолданамыз.

$X$ кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері: $x_1 = 4$, $x_2 = 6$ және $x_3$.

Оларға сәйкес ықтималдықтар: $p_1 = 0$, $p_2 = 0,3$ және $p_3$.

Математикалық күтім: $M(X) = 8$.

1. $p_3$ ықтималдығын табу

Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдықтар үлестірімі қатарының негізгі қасиеті бойынша, барлық ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең болуы тиіс:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

Берілген мәндерді осы теңдеуге қоямыз:

$0 + 0,3 + p_3 = 1$

Осыдан $p_3$ мәнін оңай табамыз:

$p_3 = 1 - 0,3$

$p_3 = 0,7$

2. $x_3$ мәнін табу

Математикалық күтімнің (күтілетін мәннің) формуласы келесідей:

$M(X) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3$

Есепте берілген және біз тапқан барлық белгілі мәндерді осы формулаға қоямыз:

$8 = (4 \cdot 0) + (6 \cdot 0,3) + (x_3 \cdot 0,7)$

Енді теңдеуді ықшамдап, $x_3$-ті табамыз:

$8 = 0 + 1,8 + 0,7 \cdot x_3$

$8 = 1,8 + 0,7 \cdot x_3$

$0,7 \cdot x_3 = 8 - 1,8$

$0,7 \cdot x_3 = 6,2$

$x_3 = \frac{6,2}{0,7} = \frac{62}{7}$

Сонымен, ізделінді мәндер: $p_3 = 0,7$ және $x_3 = \frac{62}{7}$.

Ответ: $x_3 = \frac{62}{7}$, $p_3 = 0,7$.

Салыстырмалы жиіліктердің таралуын табу үшін, алдымен таңдаманың жалпы көлемін (N), яғни барлық жиіліктердің қосындысын есептеу қажет.

Берілген жиіліктер: $n_1 = 5$, $n_2 = 2$, $n_3 = 3$, $n_4 = 10$.

1. Таңдаманың жалпы көлемін (N) табамыз:
$N = \sum n_i = 5 + 2 + 3 + 10 = 20$.

2. Әрбір мән үшін салыстырмалы жиілікті ($W_i$) есептейміз.
Салыстырмалы жиілік $W_i = \frac{n_i}{N}$ формуласымен анықталады.
- $x_1 = 4$ үшін салыстырмалы жиілік: $W_1 = \frac{n_1}{N} = \frac{5}{20} = 0.25$
- $x_2 = 7$ үшін салыстырмалы жиілік: $W_2 = \frac{n_2}{N} = \frac{2}{20} = 0.1$
- $x_3 = 8$ үшін салыстырмалы жиілік: $W_3 = \frac{n_3}{N} = \frac{3}{20} = 0.15$
- $x_4 = 12$ үшін салыстырмалы жиілік: $W_4 = \frac{n_4}{N} = \frac{10}{20} = 0.5$

Тексеру: Салыстырмалы жиіліктердің қосындысы 1-ге тең болуы тиіс.
$0.25 + 0.1 + 0.15 + 0.5 = 1$.

Нәтижесінде салыстырмалы жиіліктердің таралу кестесін құрамыз.

Ответ:

Для построения полигона относительных частот необходимо на координатной плоскости отметить точки, абсциссами которых являются значения вариант $x_i$, а ординатами — соответствующие им относительные частоты $w_i$. После этого отмеченные точки последовательно соединяются отрезками прямых.

В данном случае нам даны следующие пары значений $(x_i; w_i)$: $(20; 0,1)$, $(40; 0,2)$, $(65; 0,3)$ и $(80; 0,4)$.

Перед построением полигона полезно проверить корректность данных. Сумма всех относительных частот в распределении должна быть равна 1. Проверим:

$0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 = 1,0$

Сумма верна, следовательно, данные представляют собой корректное распределение относительных частот.

Теперь построим график. На оси абсцисс (горизонтальной оси) отложим значения вариант $x_i$, а на оси ординат (вертикальной оси) — значения относительных частот $w_i$. Отметим на плоскости точки с указанными координатами и соединим их последовательно отрезками. Полученная ломаная линия и будет искомым полигоном относительных частот.

Ответ: Полигон относительных частот построен на графике выше. Это ломаная линия, которая последовательно соединяет точки с координатами, соответствующими значениям вариант и их относительным частотам: $(20; 0,1)$, $(40; 0,2)$, $(65; 0,3)$ и $(80; 0,4)$.

Для построения полигона относительных частот построим прямоугольную систему координат. На оси абсцисс ($Ox$) отложим значения вариант $x_i$ выборки, а на оси ординат ($Oy$) — соответствующие им относительные частоты $w_i$.

На координатной плоскости отметим точки с координатами, взятыми из таблицы распределения:

$(4; 0,15)$, $(5; 0,25)$, $(8; 0,3)$, $(9; 0,2)$, $(11; 0,1)$.

Последовательно соединим эти точки отрезками прямых. Полученная в результате ломаная линия и есть искомый полигон относительных частот.

Ответ: Полигон относительных частот построен и показан на рисунке выше.

Для нахождения дисперсии и среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины X, заданной своим законом распределения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

2. Найти математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ по формуле:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

3. Вычислить дисперсию $D(X)$ по формуле:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

4. Найти среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ как квадратный корень из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Применим эти шаги для каждого из случаев.

1)

Задан закон распределения:

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 4,3 \cdot 0,2 + 5,1 \cdot 0,3 + 10,6 \cdot 0,5 = 0,86 + 1,53 + 5,30 = 7,69$

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = (4,3)^2 \cdot 0,2 + (5,1)^2 \cdot 0,3 + (10,6)^2 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 18,49 \cdot 0,2 + 26,01 \cdot 0,3 + 112,36 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 3,698 + 7,803 + 56,18 = 67,681$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 67,681 - (7,69)^2 = 67,681 - 59,1361 = 8,5449$

Наконец, найдем среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8,5449} \approx 2,923$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 8,5449$; среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 2,923$.

2)

Задан закон распределения:

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 131 \cdot 0,05 + 140 \cdot 0,10 + 160 \cdot 0,25 + 180 \cdot 0,60$

$M(X) = 6,55 + 14 + 40 + 108 = 168,55$

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = (131)^2 \cdot 0,05 + (140)^2 \cdot 0,10 + (160)^2 \cdot 0,25 + (180)^2 \cdot 0,60$

$M(X^2) = 17161 \cdot 0,05 + 19600 \cdot 0,10 + 25600 \cdot 0,25 + 32400 \cdot 0,60$

$M(X^2) = 858,05 + 1960 + 6400 + 19440 = 28658,05$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 28658,05 - (168,55)^2$

$D(X) = 28658,05 - 28409,2025 = 248,8475$

Наконец, найдем среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{248,8475} \approx 15,775$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 248,8475$; среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 15,775$.

1)

Берілген мәндер: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $M(X) = 0.1$, $M(X^2) = 0.9$.

Дискретті кездейсоқ шама үшін ықтималдықтардың, математикалық күтімнің және математикалық күтімнің квадратының анықтамаларын қолданамыз:

1. Ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең: $p_1 + p_2 + p_3 = 1$.

2. Математикалық күтім: $M(X) = \sum x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$.

3. $X^2$ математикалық күтімі: $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$.

Осы формулаларға берілген мәндерді қойып, теңдеулер жүйесін құрамыз:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

$(-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = 0.1 \implies -p_1 + p_3 = 0.1$

$(-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 0.9 \implies p_1 + p_3 = 0.9$

Сонымен, келесі жүйені шешуіміз керек:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ -p_1 + p_3 = 0.1 \\ p_1 + p_3 = 0.9 \end{cases}$

Екінші және үшінші теңдеулерді қосамыз:

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0.1 + 0.9$

$2p_3 = 1 \implies p_3 = 0.5$

$p_3$ мәнін үшінші теңдеуге қоямыз:

$p_1 + 0.5 = 0.9 \implies p_1 = 0.4$

$p_1$ және $p_3$ мәндерін бірінші теңдеуге қойып, $p_2$-ні табамыз:

$0.4 + p_2 + 0.5 = 1$

$0.9 + p_2 = 1 \implies p_2 = 0.1$

Ответ: $p_1 = 0.4$, $p_2 = 0.1$, $p_3 = 0.5$.

2)

Берілген мәндер: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $M(X) = 2.3$, $M(X^2) = 5.9$.

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

$1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 = 2.3$

$1^2 \cdot p_1 + 2^2 \cdot p_2 + 3^2 \cdot p_3 = 5.9 \implies p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5.9$

Сонымен, келесі жүйені шешуіміз керек:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ p_1 + 2p_2 + 3p_3 = 2.3 \\ p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5.9 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $p_1 = 1 - p_2 - p_3$ деп өрнектейік. Оны екінші және үшінші теңдеулерге қоямыз.

Екінші теңдеуге қою:

$(1 - p_2 - p_3) + 2p_2 + 3p_3 = 2.3$

$1 + p_2 + 2p_3 = 2.3 \implies p_2 + 2p_3 = 1.3$

Үшінші теңдеуге қою:

$(1 - p_2 - p_3) + 4p_2 + 9p_3 = 5.9$

$1 + 3p_2 + 8p_3 = 5.9 \implies 3p_2 + 8p_3 = 4.9$

Енді $p_2$ мен $p_3$ үшін екі теңдеуден тұратын жүйе алдық:

$ \begin{cases} p_2 + 2p_3 = 1.3 \\ 3p_2 + 8p_3 = 4.9 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $p_2 = 1.3 - 2p_3$ деп өрнектеп, екіншісіне қоямыз:

$3(1.3 - 2p_3) + 8p_3 = 4.9$

$3.9 - 6p_3 + 8p_3 = 4.9$

$2p_3 = 1 \implies p_3 = 0.5$

$p_2$ мәнін табамыз:

$p_2 = 1.3 - 2(0.5) = 1.3 - 1 = 0.3$

$p_1$ мәнін табамыз:

$p_1 = 1 - p_2 - p_3 = 1 - 0.3 - 0.5 = 0.2$

Ответ: $p_1 = 0.2$, $p_2 = 0.3$, $p_3 = 0.5$.