Номер 419, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Берілген мәндер: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $M(X) = 0.1$, $M(X^2) = 0.9$.

Дискретті кездейсоқ шама үшін ықтималдықтардың, математикалық күтімнің және математикалық күтімнің квадратының анықтамаларын қолданамыз:

1. Ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең: $p_1 + p_2 + p_3 = 1$.

2. Математикалық күтім: $M(X) = \sum x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$.

3. $X^2$ математикалық күтімі: $M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$.

Осы формулаларға берілген мәндерді қойып, теңдеулер жүйесін құрамыз:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

$(-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = 0.1 \implies -p_1 + p_3 = 0.1$

$(-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = 0.9 \implies p_1 + p_3 = 0.9$

Сонымен, келесі жүйені шешуіміз керек:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ -p_1 + p_3 = 0.1 \\ p_1 + p_3 = 0.9 \end{cases}$

Екінші және үшінші теңдеулерді қосамыз:

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0.1 + 0.9$

$2p_3 = 1 \implies p_3 = 0.5$

$p_3$ мәнін үшінші теңдеуге қоямыз:

$p_1 + 0.5 = 0.9 \implies p_1 = 0.4$

$p_1$ және $p_3$ мәндерін бірінші теңдеуге қойып, $p_2$-ні табамыз:

$0.4 + p_2 + 0.5 = 1$

$0.9 + p_2 = 1 \implies p_2 = 0.1$

Ответ: $p_1 = 0.4$, $p_2 = 0.1$, $p_3 = 0.5$.

2)

Берілген мәндер: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $M(X) = 2.3$, $M(X^2) = 5.9$.

Теңдеулер жүйесін құрамыз:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$

$1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 3 \cdot p_3 = 2.3$

$1^2 \cdot p_1 + 2^2 \cdot p_2 + 3^2 \cdot p_3 = 5.9 \implies p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5.9$

Сонымен, келесі жүйені шешуіміз керек:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ p_1 + 2p_2 + 3p_3 = 2.3 \\ p_1 + 4p_2 + 9p_3 = 5.9 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $p_1 = 1 - p_2 - p_3$ деп өрнектейік. Оны екінші және үшінші теңдеулерге қоямыз.

Екінші теңдеуге қою:

$(1 - p_2 - p_3) + 2p_2 + 3p_3 = 2.3$

$1 + p_2 + 2p_3 = 2.3 \implies p_2 + 2p_3 = 1.3$

Үшінші теңдеуге қою:

$(1 - p_2 - p_3) + 4p_2 + 9p_3 = 5.9$

$1 + 3p_2 + 8p_3 = 5.9 \implies 3p_2 + 8p_3 = 4.9$

Енді $p_2$ мен $p_3$ үшін екі теңдеуден тұратын жүйе алдық:

$ \begin{cases} p_2 + 2p_3 = 1.3 \\ 3p_2 + 8p_3 = 4.9 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $p_2 = 1.3 - 2p_3$ деп өрнектеп, екіншісіне қоямыз:

$3(1.3 - 2p_3) + 8p_3 = 4.9$

$3.9 - 6p_3 + 8p_3 = 4.9$

$2p_3 = 1 \implies p_3 = 0.5$

$p_2$ мәнін табамыз:

$p_2 = 1.3 - 2(0.5) = 1.3 - 1 = 0.3$

$p_1$ мәнін табамыз:

$p_1 = 1 - p_2 - p_3 = 1 - 0.3 - 0.5 = 0.2$

Ответ: $p_1 = 0.2$, $p_2 = 0.3$, $p_3 = 0.5$.