Номер 418, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения дисперсии и среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины X, заданной своим законом распределения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти математическое ожидание (среднее значение) $M(X)$ по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

2. Найти математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$ по формуле:
$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

3. Вычислить дисперсию $D(X)$ по формуле:
$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

4. Найти среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ как квадратный корень из дисперсии:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Применим эти шаги для каждого из случаев.

1)

Задан закон распределения:

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 4,3 \cdot 0,2 + 5,1 \cdot 0,3 + 10,6 \cdot 0,5 = 0,86 + 1,53 + 5,30 = 7,69$

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = (4,3)^2 \cdot 0,2 + (5,1)^2 \cdot 0,3 + (10,6)^2 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 18,49 \cdot 0,2 + 26,01 \cdot 0,3 + 112,36 \cdot 0,5$

$M(X^2) = 3,698 + 7,803 + 56,18 = 67,681$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 67,681 - (7,69)^2 = 67,681 - 59,1361 = 8,5449$

Наконец, найдем среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{8,5449} \approx 2,923$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 8,5449$; среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 2,923$.

2)

Задан закон распределения:

Найдем математическое ожидание $M(X)$:

$M(X) = 131 \cdot 0,05 + 140 \cdot 0,10 + 160 \cdot 0,25 + 180 \cdot 0,60$

$M(X) = 6,55 + 14 + 40 + 108 = 168,55$

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = (131)^2 \cdot 0,05 + (140)^2 \cdot 0,10 + (160)^2 \cdot 0,25 + (180)^2 \cdot 0,60$

$M(X^2) = 17161 \cdot 0,05 + 19600 \cdot 0,10 + 25600 \cdot 0,25 + 32400 \cdot 0,60$

$M(X^2) = 858,05 + 1960 + 6400 + 19440 = 28658,05$

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 28658,05 - (168,55)^2$

$D(X) = 28658,05 - 28409,2025 = 248,8475$

Наконец, найдем среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{248,8475} \approx 15,775$

Ответ: Дисперсия $D(X) = 248,8475$; среднее квадратическое отклонение $\sigma(X) \approx 15,775$.