Вопросы, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Кездейсоқ оқиғаның кездейсоқ шамадан қандай айырмашылығы бар? Жауабын нақты мысалмен көрсетіңдер.

Кездейсоқ оқиға мен кездейсоқ шама – ықтималдықтар теориясының екі түрлі, бірақ өзара байланысты ұғымы.

Кездейсоқ оқиға – бұл кездейсоқ эксперименттің нәтижесі. Ол сапалық сипаттамаға ие, яғни оқиғаның орындалғанын немесе орындалмағанын білдіреді. Мысалы, «тиынды лақтырғанда елтаңбаның түсуі» – бұл кездейсоқ оқиға.

Кездейсоқ шама – бұл кездейсоқ эксперименттің әрбір мүмкін нәтижесіне белгілі бір сандық мән сәйкес қоятын айнымалы. Бұл – санмен өлшенетін нәтиже. Мысалы, егер $X$ кездейсоқ шамасы тиын лақтыру нәтижесін сипаттаса, онда елтаңба түскенде $X=1$, ал сан түскенде $X=0$ деп белгілеуге болады.

Негізгі айырмашылығы: оқиға – бұл құбылыстың өзі (нәтиже), ал кездейсоқ шама – сол құбылыстың сандық көрінісі.

Нақты мысал:

Эксперимент: ойын сүйегін бір рет лақтыру.

• Кездейсоқ оқиға (A): «Жұп санның түсуі». Бұл оқиға егер 2, 4 немесе 6 ұпайы түссе орындалады. Бұл сапалық сипаттама («иә» немесе «жоқ»).
• Кездейсоқ шама (X): «Түскен ұпай саны». Бұл шама {1, 2, 3, 4, 5, 6} мәндерінің бірін қабылдай алатын сандық айнымалы.

Байланысы: $A$ оқиғасы $X$ кездейсоқ шамасы {2, 4, 6} жиынынан мән қабылдағанда орындалады.

Ответ: Кездейсоқ оқиға – эксперименттің сапалық нәтижесі (мысалы, "жұп сан түсті"), ал кездейсоқ шама – сол нәтижеге сәйкес келетін сандық мән (мысалы, түскен санның өзі: 2, 4 немесе 6).

2. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар немен сипатталады? Олардың ұқсастығы мен айырмашылығын атаңдар.

Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар – кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің сипатына қарай бөлінетін екі негізгі түрі.

Дискретті кездейсоқ шама (ДКШ) – тек жеке, оқшауланған мәндерді қабылдай алатын шама. Бұл мәндердің саны шекті немесе саналымды шексіз болуы мүмкін (мысалы, барлық натурал сандар). Ол ықтималдықтардың таралу қатарымен сипатталады, яғни әрбір мүмкін мәннің пайда болу ықтималдығы көрсетіледі: $P(X = x_i) = p_i$.
Мысалдар: сүйек лақтырғанда түскен ұпай саны (1, 2, 3, 4, 5, 6); бір сағатта дүкенге келетін сатып алушылар саны (0, 1, 2, ...).

Үзіліссіз кездейсоқ шама (ҮКШ) – белгілі бір аралықтағы кез келген мәнді қабылдай алатын шама. Мүмкін мәндерінің саны саналымсыз шексіз. Ол ықтималдықтардың таралу тығыздығы функциясымен ($f(x)$) сипатталады. Белгілі бір мәнді қабылдау ықтималдығы нөлге тең ($P(X=c)=0$), ал ықтималдық тек аралық үшін анықталады: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$.
Мысалдар: адамның бойы, бөлме температурасы, пойыздың кешігу уақыты.

Ұқсастықтары:

• Екеуі де кездейсоқ эксперимент нәтижесін сандық түрде сипаттайды.
• Екеуінің де ықтималдықтардың таралу заңы болады.
• Екеуі үшін де математикалық болжам (орташа мән) және дисперсия сияқты сандық сипаттамаларды есептеуге болады.
• Барлық мүмкін мәндердің жалпы ықтималдығы 1-ге тең (ДКШ үшін $\sum P(X=x_i) = 1$, ҮКШ үшін $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$).

Айырмашылықтары:

• Мәндер жиыны: ДКШ саналымды мәндер қабылдайды, ал ҮКШ белгілі бір аралықтағы кез келген мәнді қабылдайды.
• Таралу заңы: ДКШ таралу қатарымен (ықтималдықтар кестесімен), ал ҮКШ таралу тығыздығы функциясымен сипатталады.
• Нүктедегі ықтималдық: ДКШ үшін нақты бір мәнді қабылдау ықтималдығы нөлден үлкен болуы мүмкін ($P(X=x_i) > 0$), ал ҮКШ үшін кез келген нақты мәнді қабылдау ықтималдығы әрқашан нөлге тең ($P(X=c)=0$).

Ответ: Дискретті шама саналымды мәндер қабылдайды (мысалы, 1, 2, 3) және таралу қатарымен сипатталады, ал үзіліссіз шама аралықтағы кез келген мәнді қабылдайды (мысалы, [0, 1] аралығы) және таралу тығыздығы функциясымен сипатталады. Олардың ұқсастығы – екеуі де ықтималдық таралуымен сипатталатын кездейсоқ шамалар.

3. Математикалық болжам мен дисперсияда қандай ұқсастық пен айырмашылық бар?

Математикалық болжам мен дисперсия – кездейсоқ шаманың ықтималдық таралуын сипаттайтын екі маңызды сандық көрсеткіш.

Математикалық болжам ($E[X]$ немесе $\mu$) – бұл кездейсоқ шаманың орташа мәні немесе таралудың "орталық" нүктесі. Ол кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысы ретінде есептеледі. Ол таралудың қай жерде орналасқанын көрсетеді.
Формуласы (дискретті жағдайда): $E[X] = \sum_{i} x_i p_i$.

Дисперсия ($Var(X)$ немесе $D(X)$, $\sigma^2$) – бұл кездейсоқ шаманың мәндерінің оның математикалық болжамынан (орташа мәнінен) қаншалықты шашыраңқы орналасқанын сипаттайтын өлшем. Ол математикалық болжамнан ауытқу квадратының орташа мәніне тең.
Формуласы: $Var(X) = E[(X - E[X])^2]$.

Ұқсастықтары:

• Екеуі де кездейсоқ шаманың таралуын сипаттайтын негізгі сандық сипаттамалар болып табылады.
• Екеуі де кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтары негізінде есептеледі.
• Екеуі де ықтималдықтар теориясы мен статистикада кеңінен қолданылады.

Айырмашылықтары:

• Мағынасы: Математикалық болжам таралудың орналасу центрін көрсетеді, ал дисперсия осы центрдің айналасындағы шашырау дәрежесін көрсетеді.
• Өлшем бірлігі: Математикалық болжамның өлшем бірлігі кездейсоқ шаманың өз өлшем бірлігімен бірдей. Дисперсияның өлшем бірлігі – кездейсоқ шама өлшем бірлігінің квадраты. (Мысалы, егер X метрмен өлшенсе, $E[X]$ метрмен, ал $Var(X)$ метр квадратпен өлшенеді).
• Мәндері: Математикалық болжам оң, теріс немесе нөлге тең болуы мүмкін. Дисперсия әрқашан теріс емес, яғни $Var(X) \ge 0$.

Ответ: Ұқсастығы – екеуі де таралудың сандық сипаттамалары. Айырмашылығы – математикалық болжам таралудың "центрін" көрсетсе, дисперсия сол центрдің айналасындағы "шашырау" дәрежесін көрсетеді.

4. Басты жиынтықтың статистикалық қорытындысын тұжырымдауда таңдаманың рөлі қандай?

Математикалық статистикада басты жиынтық деп зерттеу объектісі болып табылатын барлық элементтердің (адамдар, заттар, өлшемдер) жиыны аталады. Таңдама – бұл сол басты жиынтықтан кездейсоқ алынған бөлігі.

Басты жиынтықты толығымен зерттеу көбінесе мүмкін емес немесе тиімсіз (уақыт, қаржы, физикалық қолжетімділік тұрғысынан). Сондықтан басты жиынтық туралы қорытынды жасау үшін оның кішігірім бөлігі – таңдама зерттеледі. Таңдаманың негізгі рөлі – басты жиынтықтың сипаттамалары туралы сенімді ақпарат беру.

Таңдаманың рөлі келесі негізгі аспектілерден тұрады:

1. Бағалау (Estimation): Таңдаманың статистикалық көрсеткіштерін (мысалы, таңдамалық орташа $\bar{x}$, таңдамалық дисперсия $s^2$) пайдаланып, басты жиынтықтың белгісіз параметрлерін (басты орташа $\mu$, басты дисперсия $\sigma^2$) бағалау. Мысалы, елдегі барлық студенттердің орташа бойын білу үшін, 1000 студенттен тұратын таңдаманың орташа бойын есептейміз.
2. Статистикалық гипотезаларды тексеру (Hypothesis Testing): Басты жиынтық туралы айтылған болжамдарды (гипотезаларды) таңдама деректері арқылы тексеру. Мысалы, «жаңа дәрінің тиімділігі ескіден жоғары» деген гипотезаны таңдамадағы пациенттердің нәтижелерін талдау арқылы тексереміз.
3. Тиімділік: Таңдаманы зерттеу басты жиынтықты толық зерттеуге (жаппай санаққа) қарағанда әлдеқайда аз уақыт пен ресурсты қажет етеді.

Дұрыс қорытынды жасаудың ең маңызды шарты – таңдаманың репрезентативті (басты жиынтықтың құрылымын дұрыс көрсететін) болуы. Бұған кездейсоқ таңдау әдістерін қолдану арқылы қол жеткізіледі.

Ответ: Таңдама – бұл басты жиынтықтың сипаттамаларын (орташа мәнін, үлесін, т.б.) бағалауға және ол туралы статистикалық гипотезаларды тексеруге мүмкіндік беретін, басты жиынтықтан алынған зерттеу объектісі. Ол үлкен көлемді деректерді зерттеуді тиімдірек етеді.

5. Жиіліктер полигонының салыстырмалы жиіліктер полигонынан қандай айырмашылығы бар?

Жиіліктер полигоны мен салыстырмалы жиіліктер полигоны – екеуі де статистикалық деректердің таралуын көрсететін графикалық әдістер. Екеуі де нүктелерді түзу сызықтармен қосу арқылы құрылады. Нүктелердің абсциссалары (X осі) нұсқалықтардың мәндеріне (немесе интервалдардың ортасына), ал ординаталары (Y осі) жиіліктерге сәйкес келеді.

Айырмашылық олардың ордината осінде (Y осі) нені кескіндейтінінде жатыр:

Жиіліктер полигоны:

• Y осінде абсолютті жиіліктер ($n_i$) кескінделеді. Абсолютті жиілік – бұл белгілі бір нұсқалықтың немесе интервалдағы мәндердің таңдамада қанша рет кездескенін көрсететін сан.
• Бұл график деректердің нақты санын көрсетеді.

Салыстырмалы жиіліктер полигоны:

• Y осінде салыстырмалы жиіліктер ($w_i$) кескінделеді. Салыстырмалы жиілік – бұл абсолютті жиіліктің таңдаманың жалпы көлеміне ($n$) қатынасы: $w_i = n_i / n$. Ол үлес немесе пайыз түрінде көрсетіледі.
• Барлық салыстырмалы жиіліктердің қосындысы әрқашан 1-ге (немесе 100%-ға) тең.

Негізгі айырмашылық:

Басты айырмашылық – вертикаль осьтің масштабында. Жиіліктер полигоны нақты сандарды (мысалы, 5 студент, 10 студент), ал салыстырмалы жиіліктер полигоны үлестерді (мысалы, 0.1, 0.2 немесе 10%, 20%) көрсетеді.

Ұқсастығы: Екі полигонның да пішіні бірдей болады, тек Y осінің мәндері әртүрлі. Салыстырмалы жиіліктер полигоны көлемдері әртүрлі екі немесе одан да көп таңдаманың таралуын салыстыру үшін өте ыңғайлы, себебі ол деректерді бірыңғай масштабқа келтіреді.

Ответ: Негізгі айырмашылық Y осінде кескінделетін шамада: жиіліктер полигонында абсолютті жиілік (кездесу саны), ал салыстырмалы жиіліктер полигонында салыстырмалы жиілік (жалпы санға қатысты үлесі) көрсетіледі. Графиктердің пішіні бірдей болады.