Страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Бұл есепті шешу үшін ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданамыз. Оқиғаның ықтималдығы ($P$) қолайлы нәтижелер санының ($m$) барлық мүмкін нәтижелер санына ($n$) қатынасымен анықталады. Формуласы келесідей:

$P = \frac{m}{n}$

Есептің шарты бойынша берілгендер:
- Жәшіктегі шарлардың жалпы саны (барлық мүмкін нәтижелер): $n = 24$.
- Ақ шарлар саны: 12.
- Қызыл шарлар саны: 8.
- Жасыл шарлар саны: 4.

Есепте кездейсоқ алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығын табу сұралған. Бұл жағдайдағы қолайлы нәтижелер саны — қызыл шарлардың саны, яғни $m = 8$.

Осы мәліметтерді пайдаланып, сұралған ықтималдықты есептейміз:

$P(\text{қызыл}) = \frac{\text{Қызыл шарлар саны}}{\text{Барлық шарлар саны}} = \frac{8}{24}$

Бөлшекті 8-ге қысқартамыз:

$P(\text{қызыл}) = \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

Алынған $\frac{1}{3}$ нәтижесі ұсынылған жауап нұсқаларының (A. $\frac{2}{3}$; B. $\frac{5}{6}$; C. $\frac{1}{2}$; D. $\frac{2}{5}$) ішінде жоқ. Бұл есептің шартында немесе жауаптарда қателік бар екенін көрсетеді. Мұндай жағдайда, есеп шартында басқа түстің ықтималдығын сұрауы мүмкін екенін болжауға болады.

Егер есеп шартында "ақ" түсті шардың ықтималдығын табу сұралған деп есептесек (бұл жиі кездесетін қателік), онда шешім келесідей болады:
- Қолайлы нәтижелер саны (ақ шарлар): $m = 12$.
- Барлық нәтижелер саны: $n = 24$.
Сонда ықтималдық:

$P(\text{ақ}) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

Бұл нәтиже C нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: $\frac{1}{2}$

Берілген есепті шешу үшін ықтималдықтардың таралу заңдылығының негізгі қасиетін қолданамыз: кездейсоқ шаманың барлық ықтимал мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең.

$p_1 + p_2 + ... + p_n = 1$

Есепте берілген кестедегі белгілі ықтималдықтар: $P(X=8) = 0,15$ және $P(X=15) = 0,15$.

Белгісіз ықтималдықтарды сәйкесінше $p(X=5)$, $p(X=12)$ және $p(X=18)$ деп белгілейік. Онда барлық ықтималдықтардың қосындысы:

$p(X=5) + p(X=8) + p(X=12) + p(X=15) + p(X=18) = 1$

$p(X=5) + 0,15 + p(X=12) + 0,15 + p(X=18) = 1$

Белгісіз ықтималдықтардың қосындысын табамыз:

$p(X=5) + p(X=12) + p(X=18) = 1 - (0,15 + 0,15)$

$p(X=5) + p(X=12) + p(X=18) = 1 - 0,3 = 0,7$

Есептің шарты бойынша белгісіз ықтималдықтардың таралуы $2:3:2$ қатынасындай. Яғни:

$p(X=5) : p(X=12) : p(X=18) = 2 : 3 : 2$

Бұл қатынасты пропорционалдық коэффициенті $k$ арқылы өрнектейік:

$p(X=5) = 2k$
$p(X=12) = 3k$
$p(X=18) = 2k$

Бұл өрнектерді белгісіз ықтималдықтардың қосындысының теңдеуіне қоямыз:

$2k + 3k + 2k = 0,7$

$7k = 0,7$

$k = \frac{0,7}{7} = 0,1$

Енді $k$ мәнін пайдаланып, әрбір белгісіз ықтималдықты есептейміз:

$p(X=5) = 2k = 2 \times 0,1 = 0,2$
$p(X=12) = 3k = 3 \times 0,1 = 0,3$
$p(X=18) = 2k = 2 \times 0,1 = 0,2$

Сонымен, таралу заңдылығының толық кестесі мынадай болады:

Бұл нәтиже C нұсқасына сәйкес келеді.

Ответ: C.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: найти неизвестные вероятности и определить неизвестные значения случайной величины X.

1. Нахождение неизвестных вероятностей

По условию, неизвестные вероятности равны между собой. Обозначим каждую из них как $p_{unknown}$. Основное свойство любого закона распределения вероятностей заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1. Исходя из данных в таблице, составим уравнение:

$p_{unknown} + 0,3 + 0,3 + 0,3 + p_{unknown} = 1$

Упростим выражение:

$2 \cdot p_{unknown} + 0,9 = 1$

Теперь решим уравнение относительно $p_{unknown}$:

$2 \cdot p_{unknown} = 1 - 0,9$

$2 \cdot p_{unknown} = 0,1$

$p_{unknown} = \frac{0,1}{2} = 0,05$

Таким образом, первая и последняя вероятности в таблице равны 0,05.

2. Нахождение неизвестных значений случайной величины X

Согласно условию, все значения случайной величины X ($x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$) образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Нам известны первый и последний члены этой прогрессии:

$x_1 = 6$

$x_5 = 18$

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии. Для пятого члена ($n=5$) формула выглядит так:

$x_5 = x_1 + (5-1)d$

Подставим известные значения и найдем $d$:

$18 = 6 + 4d$

$4d = 18 - 6$

$4d = 12$

$d = \frac{12}{4} = 3$

Теперь, зная разность прогрессии, найдем недостающие значения X:

$x_2 = x_1 + d = 6 + 3 = 9$

$x_3 = x_2 + d = 9 + 3 = 12$

$x_4 = x_3 + d = 12 + 3 = 15$

Итак, полный ряд значений для случайной величины X: 6, 9, 12, 15, 18.

3. Итоговая таблица и выбор ответа

Собрав все найденные значения, мы получаем следующую таблицу распределения:

Сравнив полученную таблицу с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с вариантом D.

Ответ: D