Страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Какие из перечисленных ниже степенных функций выпуклы вверх, а какие — выпуклы вниз:
$y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$, $y = x^{2,7}$, $y = x^{0,11}$?

Для определения выпуклости степенной функции вида $y = x^a$ (при $x > 0$) необходимо найти ее вторую производную и определить ее знак.

Первая производная: $y' = (x^a)' = a \cdot x^{a-1}$.

Вторая производная: $y'' = (a \cdot x^{a-1})' = a \cdot (a-1) \cdot x^{a-2}$.

Поскольку для области определения $x > 0$, множитель $x^{a-2}$ всегда положителен, знак второй производной зависит только от знака выражения $a(a-1)$.

• Если $y'' > 0$, то есть $a(a-1) > 0$, функция является выпуклой вниз (вогнутой). Это условие выполняется, когда $a < 0$ или $a > 1$.
• Если $y'' < 0$, то есть $a(a-1) < 0$, функция является выпуклой вверх (выпуклой). Это условие выполняется, когда $0 < a < 1$.

Проанализируем каждую из заданных функций:

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Здесь показатель степени $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3}-1) = \frac{2}{3}(-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{9} < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Здесь показатель степени $a = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = \frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-0.6}$

Здесь показатель степени $a = -0.6$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -0.6(-0.6-1) = -0.6(-1.6) = 0.96 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{11}$

Здесь показатель степени $a = 11$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 11(11-1) = 11 \cdot 10 = 110 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-11}$

Здесь показатель степени $a = -11$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1) = -11(-11-1) = -11(-12) = 132 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Здесь показатель степени $a = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Так как $a < 0$, то выражение $a(a-1)$ будет положительным (произведение двух отрицательных чисел). Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{2.7}$

Здесь показатель степени $a = 2.7$. Так как $a > 1$, то выражение $a(a-1) = 2.7(2.7-1) = 2.7 \cdot 1.7 > 0$. Следовательно, вторая производная положительна.
Ответ: функция выпукла вниз.

$y = x^{0.11}$

Здесь показатель степени $a = 0.11$. Так как $0 < 0.11 < 1$, то выражение $a(a-1) = 0.11(0.11-1) = 0.11(-0.89) < 0$. Следовательно, вторая производная отрицательна.
Ответ: функция выпукла вверх.

Итог:

Выпуклы вверх: $y=x^{\frac{2}{3}}$, $y=x^{0.11}$.

Выпуклы вниз: $y=x^{\frac{3}{2}}$, $y=x^{-0.6}$, $y=x^{11}$, $y=x^{-11}$, $y=x^{-2\frac{2}{7}}$, $y=x^{2.7}$.

3. Попробуйте устно найти наибольшее значение функции

$y = \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & 0 \le x \le 1, \\ 2 - x, & x > 1. \end{cases}$

Есть ли у неё наименьшее значение?

Попробуйте устно найти наибольшее значение функции

Для нахождения наибольшего значения проанализируем поведение функции на каждом из двух участков её определения.

На отрезке $0 \le x \le 1$ задана функция $y = \sqrt[3]{x}$. Эта функция является возрастающей. Следовательно, её наибольшее значение на данном отрезке достигается в его правом конце, то есть в точке $x = 1$. Это значение равно $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$.

На интервале $x > 1$ задана функция $y = 2 - x$. Это линейная функция, её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом, поэтому функция является убывающей. При $x$, приближающемся к 1 справа, значение функции стремится к $2 - 1 = 1$. Так как $x > 1$, то $y = 2 - x < 1$. То есть на этом интервале все значения функции строго меньше 1.

Объединяя результаты, видим, что наибольшее значение функции достигается в точке $x=1$ и равно 1.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

Есть ли у неё наименьшее значение?

Для ответа на этот вопрос также проанализируем поведение функции на двух участках.

На отрезке $0 \le x \le 1$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает от $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$ до $y(1) = 1$. Наименьшее значение на этом участке равно 0.

На интервале $x > 1$ функция $y = 2 - x$ убывает. При увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Например, при $x=10$, $y=-8$; при $x=100$, $y=-98$. Формально, предел функции при $x$, стремящемся к бесконечности, равен минус бесконечности: $\lim_{x \to \infty} (2 - x) = -\infty$.

Это означает, что область значений функции не ограничена снизу. Функция может принимать сколь угодно малые значения. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: Нет, у функции нет наименьшего значения.

4. Как найти производную функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^r$, где $r$ является рациональным числом ($r \in \mathbb{Q}$), используется метод, основанный на неявном дифференцировании. Процесс вывода формулы выглядит следующим образом.

Поскольку $r$ — рациональное число, его можно представить в виде дроби $r = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$). Тогда исходная функция принимает вид:

$y = x^{\frac{p}{q}}$

Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем обе части равенства в степень $q$:

$y^q = \left(x^{\frac{p}{q}}\right)^q$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$y^q = x^p$

Это уравнение неявно задает функцию $y$ как функцию от $x$.

Теперь продифференцируем обе части уравнения $y^q = x^p$ по переменной $x$.

Для левой части, учитывая, что $y$ является функцией от $x$, применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и формулу производной степенной функции для целого показателя:

$\frac{d}{dx}(y^q) = q \cdot y^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx}$

Для правой части применяем стандартную формулу производной степенной функции, так как $p$ — целое число:

$\frac{d}{dx}(x^p) = p \cdot x^{p-1}$

Приравнивая производные левой и правой частей, получаем:

$q \cdot y^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx} = p \cdot x^{p-1}$

Выразим искомую производную $\frac{dy}{dx}$ из полученного равенства:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p \cdot x^{p-1}}{q \cdot y^{q-1}} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{y^{q-1}}$

Теперь подставим обратно выражение для $y$ из шага 1: $y = x^{\frac{p}{q}}$.

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{\left(x^{\frac{p}{q}}\right)^{q-1}}$

Упростим знаменатель дроби:

$\left(x^{\frac{p}{q}}\right)^{q-1} = x^{\frac{p}{q}(q-1)} = x^{p - \frac{p}{q}}$

Подставим упрощенное выражение обратно в формулу для производной:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{x^{p - \frac{p}{q}}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, завершим упрощение:

$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot x^{(p-1) - \left(p - \frac{p}{q}\right)} = \frac{p}{q} \cdot x^{p - 1 - p + \frac{p}{q}} = \frac{p}{q} \cdot x^{\frac{p}{q} - 1}$

Вспомним, что $r = \frac{p}{q}$. Заменяя дробь обратно на $r$, получаем окончательную формулу:

$y' = (x^r)' = r \cdot x^{r-1}$

Таким образом, известная формула для производной степенной функции верна для любого рационального показателя.

Ответ: Производная функции $y = x^r$, где $r \in \mathbb{Q}$, находится по формуле $(x^r)' = r \cdot x^{r-1}$. Эта формула доказывается с помощью представления рационального показателя $r$ в виде дроби $p/q$ и применения метода неявного дифференцирования к уравнению $y^q = x^p$.

5. Найдите производную для каждой из указанных ниже функций:

$ y = x^{\frac{2}{3}} $, $ y = x^{\frac{3}{2}} $, $ y = x^{-0.6} $, $ y = x^{11} $, $ y = x^{-11} $, $ y = x^{-\frac{16}{7}} $, $ y = x^{2.7} $,

$ y = x^{0.11} $, $ y = \sqrt[3]{x} $, $ y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} $.

Для нахождения производной каждой из указанных функций используется правило дифференцирования степенной функции. Для любой функции вида $y = x^n$, ее производная $y'$ находится по формуле:

$$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$$

Применим эту формулу к каждой из заданных функций.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

В данном случае показатель степени $n = \frac{2}{3}$. Применяем формулу производной степенной функции:
$y' = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.
Результат также можно представить в виде корня: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Здесь показатель степени $n = \frac{3}{2}$. Находим производную:
$y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
Результат также можно представить в виде корня: $y' = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

$y = x^{-0,6}$

Показатель степени $n = -0,6$. Дифференцируем функцию:
$y' = (x^{-0,6})' = -0,6 \cdot x^{-0,6 - 1} = -0,6x^{-1,6}$.
Ответ: $y' = -0,6x^{-1,6}$.

$y = x^{11}$

Показатель степени $n = 11$. Находим производную:
$y' = (x^{11})' = 11 \cdot x^{11 - 1} = 11x^{10}$.
Ответ: $y' = 11x^{10}$.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $n = -11$. Находим производную:
$y' = (x^{-11})' = -11 \cdot x^{-11 - 1} = -11x^{-12}$.
Ответ: $y' = -11x^{-12}$.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = -\frac{16}{7}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^{-\frac{16}{7}}$.
Показатель степени $n = -\frac{16}{7}$. Находим производную:
$y' = (x^{-\frac{16}{7}})' = -\frac{16}{7} \cdot x^{-\frac{16}{7} - 1} = -\frac{16}{7} \cdot x^{-\frac{16}{7} - \frac{7}{7}} = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}}$.
Ответ: $y' = -\frac{16}{7}x^{-\frac{23}{7}}$.

$y = x^{2,7}$

Показатель степени $n = 2,7$. Дифференцируем функцию:
$y' = (x^{2,7})' = 2,7 \cdot x^{2,7 - 1} = 2,7x^{1,7}$.
Ответ: $y' = 2,7x^{1,7}$.

$y = x^{0,11}$

Показатель степени $n = 0,11$. Находим производную:
$y' = (x^{0,11})' = 0,11 \cdot x^{0,11 - 1} = 0,11x^{-0,89}$.
Ответ: $y' = 0,11x^{-0,89}$.

$y = \sqrt[3]{x}$

Сначала представим функцию в виде степени: $y = x^{\frac{1}{3}}$.
Показатель степени $n = \frac{1}{3}$. Находим производную:
$y' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.
Результат можно записать обратно в виде корня: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Представим функцию в виде степени: $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}}$.
Показатель степени $n = -\frac{1}{3}$. Находим производную:
$y' = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.
Результат можно записать обратно в виде корня: $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.