Страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Почему корень $n$-й степени из натурального числа есть число или натуральное, или иррациональное?

Это утверждение является следствием более общей теоремы о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Однако его можно доказать и более простым способом, методом от противного.

Рассмотрим число $x = \sqrt[n]{M}$, где $M$ и $n$ — натуральные числа, причем $n \ge 2$.

Любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. Наша задача — доказать, что если $\sqrt[n]{M}$ является рациональным числом, то оно обязательно должно быть натуральным (а не дробным).

Доказательство от противного:

Предположим, что $\sqrt[n]{M}$ является рациональным, но не целым числом. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа, не имеющие общих делителей (кроме 1), и, что очень важно, $q > 1$. Если бы $q=1$, число было бы целым, что мы исключили.

Итак, пусть:

$\sqrt[n]{M} = \frac{p}{q}$

Возведем обе части этого равенства в степень $n$:

$(\sqrt[n]{M})^n = (\frac{p}{q})^n$

$M = \frac{p^n}{q^n}$

Теперь умножим обе части на $q^n$:

$M \cdot q^n = p^n$

Это равенство показывает, что $p^n$ делится на $q^n$ без остатка (поскольку $M$ — натуральное число, результат деления $p^n$ на $q^n$ равен $M$).

А теперь вернемся к нашему исходному условию: дробь $\frac{p}{q}$ была несократимой. Это значит, что числа $p$ и $q$ взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1). Но если два числа взаимно просты, то и любые их натуральные степени также будут взаимно просты. То есть, $p^n$ и $q^n$ тоже взаимно просты.

Единственный способ, которым одно натуральное число ($p^n$) может делиться на другое взаимно простое с ним натуральное число ($q^n$), — это если делитель равен единице. Следовательно, $q^n$ должно быть равно 1.

$q^n = 1$

Поскольку $q$ — натуральное число, из этого равенства следует, что $q=1$.

Но это прямо противоречит нашему первоначальному предположению, что $q > 1$.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Значит, корень $n$-й степени из натурального числа не может быть дробным рациональным числом.

Таким образом, для числа $x = \sqrt[n]{M}$ остаются только две возможности:

1. Оно является натуральным числом. Это происходит, когда $M$ само по себе является точной $n$-й степенью некоторого натурального числа (например, $\sqrt{9}=3$ или $\sqrt[3]{125}=5$).
2. Оно не является рациональным числом, то есть является иррациональным. Это происходит во всех остальных случаях (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{7}$).

Ответ: Корень $n$-й степени из натурального числа $M$ не может быть представлен в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$ с знаменателем $q>1$, так как это приводит к логическому противоречию, основанному на свойствах взаимно простых чисел. Следовательно, если такой корень не является натуральным числом (случай, когда $q=1$), он по определению должен быть иррациональным.