Номер 2, страница 324 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 12. Твёрдое тело. Параграф 69. Кристаллическая решётка - номер 2, страница 324.

Условие.

2. Какой процент заполнения пространства характерен для кубической, кубической центрированной, гранецентрированной и гексагональной кристаллических решёток?

Решение.

Решение

Процент заполнения пространства, также известный как коэффициент плотности упаковки (КПУ) или атомный фактор упаковки, представляет собой долю объёма элементарной ячейки кристаллической решётки, которая заполнена атомами (представленными в виде несжимаемых сфер). Он рассчитывается по формуле:

$КПУ = \frac{N_{атомов} \cdot V_{атома}}{V_{ячейки}}$

где $N_{атомов}$ — количество атомов в элементарной ячейке, $V_{атома} = \frac{4}{3}\pi R^3$ — объём одного атома (где $R$ — радиус атома), а $V_{ячейки}$ — объём элементарной ячейки.

Кубическая кристаллическая решётка

В простой кубической (ПК) решётке атомы располагаются в восьми вершинах куба. Каждый атом в вершине принадлежит одновременно восьми соседним ячейкам.
Число атомов на ячейку: $N = 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
Атомы касаются друг друга вдоль ребра куба, поэтому длина ребра (параметр решётки) $a$ связана с радиусом атома $R$ соотношением $a = 2R$.
Объём ячейки: $V_{ячейки} = a^3 = (2R)^3 = 8R^3$.
Общий объём атомов в ячейке: $V_{всех\ атомов} = 1 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Процент заполнения: $КПУ_{ПК} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{8R^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$, или $52,36\%$.

Ответ: 52%.

Кубическая центрированная кристаллическая решётка

В объёмно-центрированной кубической (ОЦК) решётке один атом находится в центре куба и по одному атому в каждой из восьми вершин.
Число атомов на ячейку: $N = (8 \times \frac{1}{8}) + 1 = 2$.
Атомы касаются друг друга вдоль объёмной диагонали куба. Длина этой диагонали равна $a\sqrt{3}$. На диагонали укладываются четыре радиуса атомов ($4R$), поэтому $a\sqrt{3} = 4R$, откуда $a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$.
Объём ячейки: $V_{ячейки} = a^3 = (\frac{4R}{\sqrt{3}})^3 = \frac{64R^3}{3\sqrt{3}}$.
Общий объём атомов в ячейке: $V_{всех\ атомов} = 2 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$.
Процент заполнения: $КПУ_{ОЦК} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.6802$, или $68,02\%$.

Ответ: 68%.

Гранецентрированная кристаллическая решётка

В гранецентрированной кубической (ГЦК) решётке атомы расположены в восьми вершинах куба и в центре каждой из шести граней.
Число атомов на ячейку: $N = (8 \times \frac{1}{8}) + (6 \times \frac{1}{2}) = 1 + 3 = 4$.
Атомы касаются друг друга вдоль диагонали грани. Длина диагонали грани равна $a\sqrt{2}$. На диагонали укладываются четыре радиуса атомов ($4R$), поэтому $a\sqrt{2} = 4R$, откуда $a = \frac{4R}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}R$.
Объём ячейки: $V_{ячейки} = a^3 = (2\sqrt{2}R)^3 = 16\sqrt{2}R^3$.
Общий объём атомов в ячейке: $V_{всех\ атомов} = 4 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{16}{3}\pi R^3$.
Процент заполнения: $КПУ_{ГЦК} = \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.7405$, или $74,05\%$.

Ответ: 74%.

Гексагональная кристаллическая решётка

Гексагональная плотноупакованная (ГПУ) структура, как и ГЦК, является структурой с максимально возможной плотностью упаковки твёрдых сфер.
Расчёт для ГПУ более сложен, чем для кубических решёток, но результат для идеальной решётки (с соотношением высоты ячейки к стороне основания $c/a = \sqrt{8/3}$) даёт то же значение, что и для ГЦК.
Процент заполнения: $КПУ_{ГПУ} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.7405$, или $74,05\%$.

Ответ: 74%.