Задание 3, страница 211 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

1. Предположив, что мощность тока в обмотках тока постоянна:

$P_1 = P_2$

докажите, что:

$k = \frac{I_2}{I_1}$

2. Используя закон Джоуля – Ленца:

$Q = I^2 Rt$

докажите, что потери электроэнергии в линиях электропередач при высоком напряжении меньше, чем при низком.

1. Дано:

Мощность тока в обмотках постоянна (мощность в первичной обмотке равна мощности во вторичной): $P_1 = P_2$.

Доказать:

Коэффициент трансформации $k$ связан с токами соотношением $k = \frac{I_2}{I_1}$.

Решение:

Мощность электрического тока в цепи определяется по формуле $P = UI$, где $U$ – напряжение, а $I$ – сила тока.

Для первичной обмотки трансформатора мощность равна $P_1 = U_1 I_1$.

Для вторичной обмотки трансформатора мощность равна $P_2 = U_2 I_2$.

По условию задачи, мы предполагаем, что трансформатор идеальный, то есть потерь мощности нет. Это означает, что мощность в первичной обмотке равна мощности во вторичной: $P_1 = P_2$.

Следовательно, мы можем приравнять выражения для мощностей:

$U_1 I_1 = U_2 I_2$

Из этого равенства выразим отношение токов во вторичной и первичной обмотках:

$\frac{I_2}{I_1} = \frac{U_1}{U_2}$

Коэффициент трансформации $k$ определяется как отношение напряжений в обмотках. Существуют два определения. В данном случае, чтобы доказать требуемое равенство, необходимо определить коэффициент трансформации как отношение напряжения на первичной обмотке к напряжению на вторичной:

$k = \frac{U_1}{U_2}$

Подставив это определение в полученное ранее соотношение для токов, мы получаем:

$k = \frac{I_2}{I_1}$

Таким образом, предположив, что мощность тока в обмотках постоянна, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ:

Из условия равенства мощностей $P_1 = P_2$ для идеального трансформатора следует, что $U_1 I_1 = U_2 I_2$. Из этого равенства получаем соотношение $\frac{I_2}{I_1} = \frac{U_1}{U_2}$. Если определить коэффициент трансформации как $k = \frac{U_1}{U_2}$, то мы приходим к доказываемому равенству $k = \frac{I_2}{I_1}$. Что и требовалось доказать.

2. Дано:

Закон Джоуля–Ленца: $Q = I^2 Rt$.

Доказать:

Потери электроэнергии в линиях электропередач при высоком напряжении меньше, чем при низком.

Решение:

Пусть по линии электропередачи (ЛЭП) необходимо передать потребителю электрическую мощность $P_{\text{потр}}$. Эта мощность связана с напряжением в линии $U$ и силой тока $I$ соотношением $P_{\text{потр}} = UI$.

Из этой формулы выразим силу тока, протекающего по проводам ЛЭП:

$I = \frac{P_{\text{потр}}}{U}$

При прохождении тока по проводам часть электрической энергии превращается во внутреннюю энергию (теплоту) из-за наличия у проводов сопротивления $R$. Эти тепловые потери энергии $Q_{\text{потерь}}$ за время $t$ можно рассчитать по закону Джоуля–Ленца:

$Q_{\text{потерь}} = I^2 Rt$

Теперь подставим в эту формулу выражение для силы тока $I$, которое мы получили ранее:

$Q_{\text{потерь}} = \left(\frac{P_{\text{потр}}}{U}\right)^2 Rt = \frac{P_{\text{потр}}^2 R t}{U^2}$

Полученное выражение показывает, как потери энергии зависят от напряжения в линии. При передаче заданной мощности ($P_{\text{потр}} = \text{const}$) по линии с определенным сопротивлением ($R = \text{const}$) за одно и то же время ($t = \text{const}$), величина потерь энергии $Q_{\text{потерь}}$ оказывается обратно пропорциональна квадрату напряжения $U$.

$Q_{\text{потерь}} \propto \frac{1}{U^2}$

Это означает, что чем выше напряжение $U$, тем меньше будут потери энергии $Q_{\text{потерь}}$.

Сравним потери при высоком напряжении $U_{\text{выс}}$ и низком напряжении $U_{\text{низ}}$. Так как $U_{\text{выс}} > U_{\text{низ}}$, то их квадраты также будут находиться в том же соотношении: $U_{\text{выс}}^2 > U_{\text{низ}}^2$.

Для обратных величин неравенство изменит знак: $\frac{1}{U_{\text{выс}}^2} < \frac{1}{U_{\text{низ}}^2}$.

Домножив обе части на положительную величину $P_{\text{потр}}^2 R t$, получим:

$\frac{P_{\text{потр}}^2 R t}{U_{\text{выс}}^2} < \frac{P_{\text{потр}}^2 R t}{U_{\text{низ}}^2}$

Это эквивалентно неравенству $Q_{\text{выс}} < Q_{\text{низ}}$, где $Q_{\text{выс}}$ и $Q_{\text{низ}}$ – потери энергии при высоком и низком напряжении соответственно.

Таким образом, мы доказали, что потери электроэнергии в линиях электропередач при высоком напряжении меньше, чем при низком.

Ответ:

Потери энергии в ЛЭП описываются формулой $Q_{\text{потерь}} = \frac{P_{\text{потр}}^2 R t}{U^2}$. Из нее следует, что потери энергии обратно пропорциональны квадрату напряжения. Следовательно, увеличение напряжения в линии электропередачи приводит к значительному снижению потерь энергии. Что и требовалось доказать.