Номер 24, страница 252 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

Тема 10. Строение вещества. 10.1. Строение атома и Периодический закон. 10.1.1. Ядро атома. Изотопы. Ядерные реакции. Уровень 2 - номер 24, страница 252.

Условие.

10.24. Калий-42 при радиоактивном распаде превращается в кальций и имеет период полураспада 12,4 ч. Запишите уравнение распада. Если взять чистый изотоп калия, то через какое время число образовавшихся атомов кальция превысит число нераспавшихся атомов калия в 7 раз?

Решение 3.

Дано:

Изотоп: Калий-42 ($^{42}\text{K}$)
Продукт распада: Кальций (Ca)
Период полураспада: $T_{1/2} = 12,4$ ч
Отношение числа атомов кальция к числу атомов калия: $\frac{N_{\text{Ca}}}{N_{\text{K}}} = 7$

$T_{1/2} = 12,4 \text{ ч} = 12,4 \cdot 3600 \text{ с} = 44640 \text{ с}$

Найти:

Уравнение распада; время $t$ - ?

Решение:

1. Уравнение радиоактивного распада.

Калий (K) имеет порядковый номер 19 в таблице Менделеева. Кальций (Ca) имеет порядковый номер 20. Массовое число изотопа калия дано и равно 42. Таким образом, исходное ядро — это $_{19}^{42}\text{K}$. Поскольку зарядовое число увеличивается на единицу ($19 \rightarrow 20$), а массовое число не изменяется, это является признаком бета-минус распада. При $\beta^-$-распаде один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон ($_{-1}^{0}e$) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$).

Уравнение распада имеет вид: $$ _{19}^{42}\text{K} \rightarrow _{20}^{42}\text{Ca} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e $$

2. Расчет времени.

Пусть $N_0$ — начальное число атомов калия-42. Закон радиоактивного распада гласит, что число нераспавшихся атомов калия ($N_{\text{K}}$) в момент времени $t$ определяется формулой: $$ N_{\text{K}}(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Каждый распавшийся атом калия превращается в один атом кальция. Следовательно, число образовавшихся атомов кальция ($N_{\text{Ca}}$) равно числу распавшихся атомов калия: $$ N_{\text{Ca}}(t) = N_0 - N_{\text{K}}(t) $$

По условию задачи, в искомый момент времени $t$: $$ N_{\text{Ca}}(t) = 7 \cdot N_{\text{K}}(t) $$

Подставим выражение для $N_{\text{Ca}}(t)$ в это соотношение: $$ N_0 - N_{\text{K}}(t) = 7 \cdot N_{\text{K}}(t) $$

Выразим $N_{\text{K}}(t)$ из этого уравнения: $$ N_0 = 8 \cdot N_{\text{K}}(t) $$ $$ N_{\text{K}}(t) = \frac{N_0}{8} $$

Теперь приравняем это выражение к формуле закона радиоактивного распада: $$ N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} = \frac{N_0}{8} $$

Сократим $N_0$: $$ 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} = \frac{1}{8} $$

Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = 2^{-3}$. $$ 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} = 2^{-3} $$

Приравниваем показатели степени: $$ -\frac{t}{T_{1/2}} = -3 $$ $$ t = 3 \cdot T_{1/2} $$

Подставим значение периода полураспада $T_{1/2} = 12,4$ ч: $$ t = 3 \cdot 12,4 \text{ ч} = 37,2 \text{ ч} $$

Ответ: уравнение распада: $ _{19}^{42}\text{K} \rightarrow _{20}^{42}\text{Ca} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e $; время, через которое число атомов кальция превысит число нераспавшихся атомов калия в 7 раз, составляет 37,2 ч.