Страница 107 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.16. 1)

$\begin{cases} 2^x + 3^y - 31 = 0, \\ 2^x + 23 = 3^y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 5^x - 2 \cdot 3^y + 13 = 0, \\ 2 \cdot 5^x - 19 = -3^y. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^x + 3^y - 31 = 0 \\ 2^x + 23 = 3^y \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $a > 0$ и $b > 0$.

Перепишем исходную систему с использованием новых переменных:

$$ \begin{cases} a + b - 31 = 0 \\ a + 23 = b \end{cases} $$

Приведем систему к стандартному виду для решения:

$$ \begin{cases} a + b = 31 \\ a - b = -23 \end{cases} $$

Это система линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Решим ее методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(a + b) + (a - b) = 31 + (-23)$

$2a = 8$

$a = 4$

Теперь подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение $a + b = 31$, чтобы найти $b$:

$4 + b = 31$

$b = 31 - 4$

$b = 27$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $a = 2^x$ и $a=4$ следует:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Из $b = 3^y$ и $b=27$ следует:

$3^y = 27$

$3^y = 3^3$

$y = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5^x - 2 \cdot 3^y + 13 = 0 \\ 2 \cdot 5^x - 19 = -3^y \end{cases} $$

Как и в предыдущем задании, введем замену переменных. Пусть $a = 5^x$ и $b = 3^y$. Условия на переменные: $a > 0$, $b > 0$.

Подставим новые переменные в систему:

$$ \begin{cases} a - 2b + 13 = 0 \\ 2a - 19 = -b \end{cases} $$

Приведем систему к стандартному виду:

$$ \begin{cases} a - 2b = -13 \\ 2a + b = 19 \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений методом подстановки. Из второго уравнения выразим $b$ через $a$:

$b = 19 - 2a$

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a - 2(19 - 2a) = -13$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$:

$a - 38 + 4a = -13$

$5a = 38 - 13$

$5a = 25$

$a = 5$

Теперь найдем значение $b$, подставив $a=5$ в выражение для $b$:

$b = 19 - 2(5)$

$b = 19 - 10$

$b = 9$

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $a = 5^x$ и $a=5$ получаем:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$

Из $b = 3^y$ и $b=9$ получаем:

$3^y = 9$

$3^y = 3^2$

$y = 2$

Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

16.17. 1) $\begin{cases} 7^x + 11^y = 18, \\ 4 \cdot 7^x - 11^y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 13^x + 2 \cdot 3^y = 67, \\ 13^x + 14 = 3^y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7^x + 11^y = 18 \\ 4 \cdot 7^x - 11^y = 3 \end{cases}$

Для решения данной системы введем новые переменные. Пусть $a = 7^x$ и $b = 11^y$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, должно выполняться $a > 0$ и $b > 0$.

Подставим новые переменные в систему, после чего она примет вид системы линейных уравнений:

$\begin{cases} a + b = 18 \\ 4a - b = 3 \end{cases}$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(a + b) + (4a - b) = 18 + 3$

$5a = 21$

$a = \frac{21}{5}$

Теперь найдем значение переменной $b$, подставив найденное значение $a$ в первое уравнение $a + b = 18$:

$\frac{21}{5} + b = 18$

$b = 18 - \frac{21}{5} = \frac{18 \cdot 5}{5} - \frac{21}{5} = \frac{90 - 21}{5} = \frac{69}{5}$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти исходные переменные $x$ и $y$.

Из $a = 7^x$ следует:

$7^x = \frac{21}{5}$

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 7, получаем:

$x = \log_7\left(\frac{21}{5}\right)$

Из $b = 11^y$ следует:

$11^y = \frac{69}{5}$

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 11, получаем:

$y = \log_{11}\left(\frac{69}{5}\right)$

Найденные значения $a = \frac{21}{5}$ и $b = \frac{69}{5}$ положительны, что удовлетворяет условиям. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(\log_7(21/5); \log_{11}(69/5))$

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases} 13^x + 2 \cdot 3^y = 67 \\ 13^x + 14 = 3^y \end{cases}$

Введем замену переменных. Пусть $a = 13^x$ и $b = 3^y$. Учитывая, что $a > 0$ и $b > 0$, перепишем систему в новых переменных:

$\begin{cases} a + 2b = 67 \\ a + 14 = b \end{cases}$

Решим данную систему методом подстановки. Из второго уравнения уже выражена переменная $b$ через $a$: $b = a + 14$.

Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a + 2(a + 14) = 67$

Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$a + 2a + 28 = 67$

$3a = 67 - 28$

$3a = 39$

$a = 13$

Теперь найдем значение $b$, используя соотношение $b = a + 14$:

$b = 13 + 14 = 27$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Для переменной $x$ имеем $a = 13^x$:

$13^x = 13$

$13^x = 13^1$

Отсюда следует, что $x = 1$.

Для переменной $y$ имеем $b = 3^y$:

$3^y = 27$

$3^y = 3^3$

Отсюда следует, что $y = 3$.

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 3)$. Проверим это, подставив значения в исходные уравнения:

Первое уравнение: $13^1 + 2 \cdot 3^3 = 13 + 2 \cdot 27 = 13 + 54 = 67$. Верно.

Второе уравнение: $13^1 + 14 = 27$ и $3^3 = 27$. Равенство $27=27$ верно.

Ответ: $(1; 3)$