Страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (16.1—16.6):

16.1. 1) $5^x = 625;$

2) $2^x = 1024;$

3) $3^x = 729;$

4) $7^x = \frac{1}{343};$

1) Чтобы решить показательное уравнение $5^x = 625$, необходимо представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5. Представим число 625 как степень числа 5.

$625 = 25 \cdot 25 = 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2} = 5^4$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^x = 5^4$.

Поскольку основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны.

$x = 4$.

Ответ: $x=4$.

2) Решим уравнение $2^x = 1024$. Для этого представим число 1024 как степень с основанием 2.

Найдем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 1024:

$2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^{10}=1024$.

Итак, $1024 = 2^{10}$.

Подставим это в уравнение:

$2^x = 2^{10}$.

Приравнивая показатели степеней с одинаковым основанием, получаем:

$x = 10$.

Ответ: $x=10$.

3) Решим уравнение $3^x = 729$. Представим правую часть уравнения, число 729, в виде степени с основанием 3.

$729 = 9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 9^2 = 3^2 \cdot (3^2)^2 = 3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.

Уравнение принимает вид:

$3^x = 3^6$.

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

4) Решим уравнение $7^x = \frac{1}{343}$. Необходимо представить правую часть как степень с основанием 7.

Сначала найдем, в какой степени 7 дает 343:

$7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Следовательно, $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$7^x = 7^{-3}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = -3$.

Ответ: $x=-3$.

16.2. 1) $2^{x+3} = 64$;

2) $3^{\frac{x}{2}} = 27$;

3) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$;

4) $\sqrt[3]{7^x} = \sqrt[3]{343}$.

1) Дано показательное уравнение $2^{x+3} = 64$. Для его решения необходимо привести обе части к одному основанию. Основание в левой части равно 2. Представим число 64 как степень числа 2.

$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$2^{x+3} = 2^6$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x + 3 = 6$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 6 - 3$

$x = 3$.

Ответ: $x=3$.

2) Дано уравнение $3^{\frac{x}{2}} = 27$. Это показательное уравнение. Приведем обе части к основанию 3.

Число 27 можно представить как $3^3$.

Подставим это в уравнение:

$3^{\frac{x}{2}} = 3^3$.

Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$\frac{x}{2} = 3$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 2:

$x = 3 \cdot 2$

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$.

Используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$, объединим множители в левой части под одним знаком корня:

$\sqrt{2^x \cdot 3^x} = 216$.

Далее, используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, упростим подкоренное выражение:

$\sqrt{(2 \cdot 3)^x} = 216$

$\sqrt{6^x} = 216$.

Представим корень как степень с рациональным показателем $\frac{1}{2}$:

$(6^x)^{\frac{1}{2}} = 216$.

По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$6^{\frac{x}{2}} = 216$.

Теперь приведем правую часть к основанию 6. Мы знаем, что $6^3 = 36 \cdot 6 = 216$.

Уравнение принимает вид:

$6^{\frac{x}{2}} = 6^3$.

Приравниваем показатели:

$\frac{x}{2} = 3$

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[4]{343}$.

Так как в обеих частях уравнения находятся корни одинаковой, четвертой, степени, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком корня:

$7^x = 343$.

Мы получили показательное уравнение. Чтобы его решить, представим число 343 в виде степени с основанием 7.

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$7^x = 7^3$.

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = 3$.

Ответ: $x=3$.

16.3. 1) $3^{x+2} - 3^x = 72;$

2) $2^x - 2^{x-4} = 15;$

3) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159;$

4) $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443.$

1) Решим уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать член $3^{x+2}$:

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$9 \cdot 3^x - 3^x = 72$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (9 - 1) = 72$.

Упростим выражение в скобках:

$8 \cdot 3^x = 72$.

Разделим обе части уравнения на 8:

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$.

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^x = 3^2$.

Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: $x=2$.

2) Решим уравнение $2^x - 2^{x-4} = 15$.

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать член $2^{x-4}$:

$2^{x-4} = 2^x \cdot 2^{-4} = \frac{2^x}{16}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2^x - \frac{2^x}{16} = 15$.

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x (1 - \frac{1}{16}) = 15$.

Упростим выражение в скобках:

$2^x (\frac{16-1}{16}) = 15$

$2^x \cdot \frac{15}{16} = 15$.

Умножим обе части уравнения на $\frac{16}{15}$:

$2^x = 15 \cdot \frac{16}{15}$

$2^x = 16$.

Так как $16 = 2^4$, получаем:

$2^x = 2^4$.

Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: $x=4$.

3) Решим уравнение $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159$.

Используя свойство степеней, преобразуем каждый член уравнения, вынеся за скобки $3^{x-3}$:

$3^{x-3} (1 + 3^1 + 3^2) = 3159$.

Вычислим выражение в скобках:

$1 + 3 + 9 = 13$.

Подставим значение обратно в уравнение:

$3^{x-3} \cdot 13 = 3159$.

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^{x-3} = \frac{3159}{13}$

$3^{x-3} = 243$.

Представим число 243 в виде степени числа 3:

$243 = 3^5$.

Получаем:

$3^{x-3} = 3^5$.

Приравниваем показатели степеней:

$x-3 = 5$

$x = 5 + 3$

$x = 8$.

Ответ: $x=8$.

4) Решим уравнение $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443$.

Используя свойства степеней, преобразуем члены уравнения:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (27 \cdot 3^x) - 5 \cdot (\frac{3^x}{9}) = 1443$.

Упростим выражение:

$54 \cdot 3^x - \frac{5}{9} \cdot 3^x = 1443$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (54 - \frac{5}{9}) = 1443$.

Вычислим выражение в скобках:

$54 - \frac{5}{9} = \frac{54 \cdot 9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{486 - 5}{9} = \frac{481}{9}$.

Получаем уравнение:

$3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443$.

Выразим $3^x$:

$3^x = 1443 \cdot \frac{9}{481}$.

Разделим 1443 на 481: $1443 \div 481 = 3$.

$3^x = 3 \cdot 9$.

Представим правую часть в виде степени числа 3:

$3^x = 3^1 \cdot 3^2 = 3^{1+2} = 3^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $x=3$.

16.4. 1) $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270;$

2) $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280;$

3) $2^{x^2+x-6} - 2^{x^2+x-9} = 56;$

4) $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950.$

1) Преобразуем уравнение $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270$, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$. Получим: $3^{x^2} \cdot 3^1 + 3^{x^2} \cdot 3^{-1} = 270$. Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки: $3^{x^2}(3 + 3^{-1}) = 270$. Упростим выражение в скобках: $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Тогда уравнение примет вид: $3^{x^2} \cdot \frac{10}{3} = 270$. Выразим $3^{x^2}$: $3^{x^2} = 270 \cdot \frac{3}{10} = 27 \cdot 3 = 81$. Так как $81 = 3^4$, имеем $3^{x^2} = 3^4$. Отсюда следует, что показатели степеней равны: $x^2 = 4$. Решая это уравнение, получаем $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Ответ: $\pm 2$.

2) Приведем все степени в уравнении $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280$ к основанию 2. Получаем: $2^{12x-1} - (2^2)^{6x-1} + (2^3)^{4x-1} - (2^4)^{3x-1} = 1280$. Упростим показатели степеней: $2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{12x-4}$: $2^{12x-4}(2^3 - 2^2 + 2^1 - 2^0) = 1280$. Вычислим значение в скобках: $8 - 4 + 2 - 1 = 5$. Уравнение принимает вид: $2^{12x-4} \cdot 5 = 1280$. Разделим обе части на 5: $2^{12x-4} = 256$. Так как $256 = 2^8$, то $2^{12x-4} = 2^8$. Приравниваем показатели: $12x - 4 = 8$, откуда $12x = 12$ и $x = 1$. Ответ: 1.

3) В уравнении $2^{x^2+x-6} - 2^{x^2+x-9} = 56$ воспользуемся свойством степеней, чтобы вынести общий множитель. Заметим, что $x^2+x-6 = (x^2+x-9)+3$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $2^{x^2+x-9} \cdot 2^3 - 2^{x^2+x-9} = 56$. Вынесем $2^{x^2+x-9}$ за скобки: $2^{x^2+x-9}(2^3 - 1) = 56$. Упростим выражение в скобках: $8 - 1 = 7$. Получаем $2^{x^2+x-9} \cdot 7 = 56$. Разделим обе части на 7: $2^{x^2+x-9} = 8$. Поскольку $8 = 2^3$, имеем $2^{x^2+x-9} = 2^3$. Приравнивая показатели, получаем квадратное уравнение: $x^2 + x - 9 = 3$, или $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Ответ: -4; 3.

4) Преобразуем левую часть уравнения $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950$. Представим $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$. Второй член преобразуем так: $5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-1} \cdot 2^x \cdot 2^{-2} = (2^x \cdot 5^x) \cdot (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}) = 10^x \cdot \frac{1}{20}$. Уравнение принимает вид: $10^x - \frac{1}{20} \cdot 10^x = 950$. Вынесем $10^x$ за скобки: $10^x(1 - \frac{1}{20}) = 950$. Упростим выражение в скобках: $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$. Получаем $10^x \cdot \frac{19}{20} = 950$. Выразим $10^x$: $10^x = 950 \cdot \frac{20}{19}$. Так как $950 / 19 = 50$, то $10^x = 50 \cdot 20 = 1000$. Поскольку $1000 = 10^3$, получаем $x=3$. Ответ: 3.

16.5. 1) $ \left(\frac{1}{0,125}\right)^x = 128; $

2) $ 5^{x^2+x-3} = \frac{1}{125}; $

3) $ (0,5)^{x^2-9x+17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}; $

4) $ (0,5)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{64}. $

1) $(\frac{1}{0,125})^{x} = 128$.

Сначала преобразуем основание степени в левой части уравнения. Десятичная дробь $0,125$ равна обыкновенной дроби $\frac{125}{1000}$, что после сокращения дает $\frac{1}{8}$.

Тогда основание степени равно $\frac{1}{0,125} = \frac{1}{1/8} = 8$.

Уравнение принимает вид: $8^x = 128$.

Теперь представим обе части уравнения в виде степени с одним и тем же основанием. Удобно использовать основание 2, поскольку $8 = 2^3$ и $128 = 2^7$.

Подставив эти значения в уравнение, получаем: $(2^3)^x = 2^7$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упрощаем левую часть: $2^{3x} = 2^7$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $3x = 7$.

Решая это простое линейное уравнение относительно $x$, находим: $x = \frac{7}{3}$.

Ответ: $x = \frac{7}{3}$.

2) $5^{x^2+x-5} = \frac{1}{125}$.

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к основанию 5. Правая часть $\frac{1}{125}$ может быть записана как степень числа 5. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так: $5^{x^2+x-5} = 5^{-3}$.

Поскольку основания степеней одинаковы, мы можем приравнять показатели: $x^2+x-5 = -3$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2+x-5+3 = 0$, что упрощается до $x^2+x-2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Либо можно использовать формулу для нахождения корней через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.

Отсюда $x_1 = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 1$.

3) $(0,5)^{x^2-9x+17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.

Приведем обе части уравнения к степеням с основанием 2. В левой части $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Следовательно, левая часть уравнения равна $(2^{-1})^{x^2-9x+17,5} = 2^{-(x^2-9x+17,5)} = 2^{-x^2+9x-17,5}$.

В правой части $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{0,5}$. Следовательно, правая часть равна $\frac{2^3}{2^{0,5}} = 2^{3-0,5} = 2^{2,5}$.

Теперь уравнение имеет вид: $2^{-x^2+9x-17,5} = 2^{2,5}$.

Приравниваем показатели степеней: $-x^2+9x-17,5 = 2,5$.

Переносим все члены в одну сторону: $-x^2+9x-17,5-2,5 = 0$, что дает $-x^2+9x-20 = 0$.

Умножим все уравнение на $-1$ для удобства: $x^2-9x+20 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $9$, а произведение равно $20$. Легко подобрать корни: $x_1=4$ и $x_2=5$.

Через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4(1)(20) = 81 - 80 = 1$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$.

$x_1 = \frac{9+1}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{9-1}{2} = 4$.

Ответ: $4; 5$.

4) $(0,5)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{64}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Основание в левой части $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда левая часть преобразуется в $(2^{-1})^{x^2-2x-2} = 2^{-(x^2-2x-2)} = 2^{-x^2+2x+2}$.

Правая часть $\frac{1}{64}$. Поскольку $64 = 2^6$, то $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

Уравнение принимает вид: $2^{-x^2+2x+2} = 2^{-6}$.

Приравниваем показатели степеней: $-x^2+2x+2 = -6$.

Переносим все в левую часть: $-x^2+2x+2+6=0$, что дает $-x^2+2x+8 = 0$.

Умножим уравнение на $-1$: $x^2-2x-8 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $4$ и $-2$.

Решение через дискриминант: $D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$.

$x_1 = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{2-6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $-2; 4$.

16.6. 1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$;

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$;

3) $0,6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$;

4) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{125}{27}\right)^3$.

1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$

Данное показательное уравнение имеет вид $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где основания $a=5$ и $b=6$ различны ($a, b > 0$, $a, b \neq 1$). Равенство возможно только в том случае, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.

Приравняем показатель степени к нулю:

$2x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x_2 = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0; 0,5

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$

Разделим обе части уравнения на $7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$ (можно разделить на $7 \cdot 7^{x^2-5x+7}$ или на $8 \cdot 8^{x^2-5x+7}$, результат будет тот же). Разделим обе части на произведение $7^{x^2-5x+7} \cdot 8^{x^2-5x+7}$. Это выражение не равно нулю.

$\frac{8}{8^{x^2-5x+7}} = \frac{7}{7^{x^2-5x+7}}$

$8^{1-(x^2-5x+7)} = 7^{1-(x^2-5x+7)}$

$8^{-x^2+5x-6} = 7^{-x^2+5x-6}$

Как и в первом примере, равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$-x^2+5x-6=0$

$x^2-5x+6=0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Альтернативный способ:

Разделим обе части уравнения на $7 \cdot 7^{x^2-5x+7}$:

$\frac{8}{7} = \frac{8^{x^2-5x+7}}{7^{x^2-5x+7}}$

$(\frac{8}{7})^1 = (\frac{8}{7})^{x^2-5x+7}$

Приравниваем показатели: $1 = x^2 - 5x + 7$, что приводит к тому же уравнению $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Ответ: 2; 3

3) $0,6^x \cdot (\frac{25}{9})^{x^2-12} = (\frac{27}{125})^3$

Приведем все основания к одному числу. Заметим, что все они являются степенями дроби $\frac{3}{5}$ или $\frac{5}{3}$. Выберем основание $\frac{3}{5}$.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 = ((\frac{3}{5})^{-1})^2 = (\frac{3}{5})^{-2}$

$\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$

Подставим преобразованные основания в исходное уравнение:

$(\frac{3}{5})^x \cdot ((\frac{3}{5})^{-2})^{x^2-12} = ((\frac{3}{5})^3)^3$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-2(x^2-12)} = (\frac{3}{5})^{3 \cdot 3}$

$(\frac{3}{5})^{x - 2(x^2 - 12)} = (\frac{3}{5})^9$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 2(x^2 - 12) = 9$

$x - 2x^2 + 24 = 9$

$-2x^2 + x + 24 - 9 = 0$

$-2x^2 + x + 15 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Ответ: -2,5; 3

4) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2+2x-11} = (\frac{125}{27})^3$

Приведем все основания к одному, в данном случае к $\frac{5}{3}$.

$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$

$\frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3$

Подставим преобразованные основания в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2+2x-11} = ((\frac{5}{3})^3)^3$

Применяя свойства степеней, получим:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2+2x-11)} = (\frac{5}{3})^{9}$

$(\frac{5}{3})^{(x+1) - 2(x^2+2x-11)} = (\frac{5}{3})^9$

Приравниваем показатели степеней:

$x + 1 - 2(x^2 + 2x - 11) = 9$

$x + 1 - 2x^2 - 4x + 22 = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x^2 - 3x + 23 = 9$

$-2x^2 - 3x + 14 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2x^2 + 3x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3,5$

Ответ: -3,5; 2

16.7. Решите уравнение графическим способом:

1) $2^x = 3;$ 2) $0,2^x = 5;$ 3) $6^x = -1;$

4) $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4;$ 5) $7^{-x} = -2;$ 6) $4^{x-1} = 4,4.$

1) Для решения уравнения $2^x = 3$ графическим способом необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 3$.

График функции $y = 2^x$ – это показательная функция. Поскольку основание $a=2 > 1$, функция является возрастающей. Она проходит через точку $(0, 1)$ и вся расположена выше оси абсцисс (область значений $E(y) = (0; +\infty)$).

График функции $y = 3$ – это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 3)$.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Так как $2^1 = 2$ и $2^2 = 4$, то значение $x$ находится в интервале $(1, 2)$. Точное значение этого корня выражается через логарифм.

Ответ: $x = \log_2 3$.

2) Для решения уравнения $0.2^x = 5$ графическим способом построим графики функций $y = 0.2^x$ и $y = 5$.

График функции $y = 0.2^x$ – это показательная функция. Так как основание $a=0.2 < 1$, функция является убывающей. Она проходит через точку $(0, 1)$. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5}$. Функцию можно записать как $y = (\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$.

График функции $y = 5$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Построим графики. Мы ищем абсциссу их точки пересечения. Найдем значение $y=0.2^x$ при $x=-1$: $y = 0.2^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(-1, 5)$.

Ответ: $x = -1$.

3) Для решения уравнения $6^x = -1$ графическим способом построим графики функций $y = 6^x$ и $y = -1$.

График функции $y = 6^x$ – это показательная функция. Область значений показательной функции – все положительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$. График функции полностью лежит в верхней полуплоскости.

График функции $y = -1$ – это прямая, параллельная оси Ox, которая полностью лежит в нижней полуплоскости.

Так как графики функций не пересекаются, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) Для решения уравнения $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4$ графическим способом построим графики функций $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ и $y = 4$.

График функции $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{6})^x$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Так как основание $a=\frac{1}{6} < 1$, функция является убывающей. Область значений $y > 0$.

График функции $y = 4$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Убывающая показательная функция и горизонтальная прямая (при $y>0$) пересекаются ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и будет решением. При $x=-1$, $y = (\frac{1}{6})^0 = 1$. При $x=-2$, $y = (\frac{1}{6})^{-1} = 6$. Так как $1 < 4 < 6$, корень уравнения находится в интервале $(-2, -1)$.

Ответ: $x = \log_{1/6} 4 - 1$.

5) Для решения уравнения $7^{-x} = -2$ графическим способом построим графики функций $y = 7^{-x}$ и $y = -2$.

Функцию $y = 7^{-x}$ можно записать как $y = (\frac{1}{7})^x$. Это показательная функция. Ее область значений – все положительные числа, $y > 0$ для любого $x$. График функции расположен выше оси Ox.

График функции $y = -2$ – это прямая, параллельная оси Ox, расположенная ниже оси Ox.

Графики этих функций не имеют точек пересечения.

Ответ: нет решений.

6) Для решения уравнения $4^{x-1} = 4.4$ графическим способом построим графики функций $y = 4^{x-1}$ и $y = 4.4$.

График функции $y = 4^{x-1}$ получается из графика функции $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Так как основание $a=4 > 1$, функция является возрастающей. Область значений $y > 0$.

График функции $y = 4.4$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Возрастающая показательная функция и горизонтальная прямая (при $y>0$) пересекаются в одной точке. Найдем примерное положение корня. При $x=2$, $y = 4^{2-1} = 4$. При $x=3$, $y = 4^{3-1} = 16$. Так как $4 < 4.4 < 16$, корень уравнения находится в интервале $(2, 3)$, причем близко к 2.

Ответ: $x = \log_4(4.4) + 1$.

Решите системы уравнений (16.8—16.9):

16.8. 1) $\begin{cases} 5^{x+y} = 125, \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 3^y = 12, \\ 6^{x+y} = 216; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4^{x+y} = 128, \\ 5^{3x-2y-3} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81}, \\ 3^{x-y+2} = 27. \end{cases}$

1) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 5^{x+y} = 125 \\ 3^{(x-y)^2-1} = 1 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, то $5^{x+y} = 5^3$. Отсюда следует, что показатели степени равны: $x+y=3$.

Преобразуем второе уравнение. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, а $1 = 3^0$, то $3^{(x-y)^2-1} = 3^0$. Отсюда следует, что $(x-y)^2-1 = 0$, или $(x-y)^2 = 1$.

Из последнего уравнения получаем два возможных случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.

Таким образом, исходная система эквивалентна совокупности двух систем линейных уравнений:

А) $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x = 4$, откуда $x=2$. Подставив $x=2$ в первое уравнение, получим $2+y=3$, откуда $y=1$. Первое решение: $(2, 1)$.

Б) $ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = -1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $2x = 2$, откуда $x=1$. Подставив $x=1$ в первое уравнение, получим $1+y=3$, откуда $y=2$. Второе решение: $(1, 2)$.

Ответ: $(2, 1)$; $(1, 2)$.

2) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 3^y = 12 \\ 6^{x+y} = 216 \end{cases} $.

Преобразуем второе уравнение. Так как $216 = 6^3$, то $6^{x+y} = 6^3$. Отсюда следует, что $x+y=3$. Из этого уравнения можно выразить $y$ через $x$: $y=3-x$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $3^x + 3^{3-x} = 12$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$, перепишем уравнение: $3^x + \frac{3^3}{3^x} = 12$, то есть $3^x + \frac{27}{3^x} = 12$.

Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $t + \frac{27}{t} = 12$.

Умножим обе части уравнения на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби: $t^2 + 27 = 12t$.

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение: $t^2 - 12t + 27 = 0$.

Решим это уравнение, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно 27, а сумма равна 12. Это числа 3 и 9. Таким образом, корни уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями.

Вернемся к исходной переменной $x$.

А) Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x=1$. Тогда $y=3-x = 3-1=2$. Первое решение: $(1, 2)$.

Б) Если $t = 9$, то $3^x = 9$, или $3^x = 3^2$, откуда $x=2$. Тогда $y=3-x = 3-2=1$. Второе решение: $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2)$; $(2, 1)$.

3) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 4^{x+y} = 128 \\ 5^{3x-2y-3} = 1 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение, приведя обе его части к общему основанию 2. Так как $4 = 2^2$ и $128 = 2^7$, уравнение можно записать в виде $(2^2)^{x+y} = 2^7$, или $2^{2(x+y)} = 2^7$.

Приравнивая показатели степени, получаем линейное уравнение: $2(x+y)=7$, то есть $2x+2y=7$.

Преобразуем второе уравнение. Так как $1 = 5^0$, уравнение принимает вид $5^{3x-2y-3} = 5^0$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $3x-2y-3=0$, то есть $3x-2y=3$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 2x+2y=7 \\ 3x-2y=3 \end{cases} $.

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$: $(2x+2y) + (3x-2y) = 7+3$, что приводит к уравнению $5x=10$, откуда $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы: $2(2)+2y=7$, то есть $4+2y=7$.

Отсюда $2y=3$, и $y=\frac{3}{2}$ или $y=1.5$.

Ответ: $(2; 1,5)$.

4) Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} 3^{2x-y} = \frac{1}{81} \\ 3^{x-y+2} = 27 \end{cases} $.

Преобразуем первое уравнение, приведя правую часть к основанию 3. Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$. Уравнение принимает вид $3^{2x-y} = 3^{-4}$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $2x-y = -4$.

Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$, уравнение принимает вид $3^{x-y+2} = 3^3$.

Приравнивая показатели степени, получаем: $x-y+2 = 3$, то есть $x-y=1$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} 2x-y = -4 \\ x-y = 1 \end{cases} $.

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y$: $(2x-y) - (x-y) = -4-1$.

Раскрываем скобки: $2x-y - x+y = -5$, что приводит к уравнению $x = -5$.

Подставим найденное значение $x=-5$ во второе уравнение системы: $(-5)-y=1$.

Отсюда $-y=1+5$, то есть $-y=6$, и $y=-6$.

Ответ: $(-5; -6)$.