Номер 16.7, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.7. Решите уравнение графическим способом:

1) $2^x = 3;$ 2) $0,2^x = 5;$ 3) $6^x = -1;$

4) $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4;$ 5) $7^{-x} = -2;$ 6) $4^{x-1} = 4,4.$

1) Для решения уравнения $2^x = 3$ графическим способом необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 3$.

График функции $y = 2^x$ – это показательная функция. Поскольку основание $a=2 > 1$, функция является возрастающей. Она проходит через точку $(0, 1)$ и вся расположена выше оси абсцисс (область значений $E(y) = (0; +\infty)$).

График функции $y = 3$ – это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 3)$.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки и является решением уравнения. Так как $2^1 = 2$ и $2^2 = 4$, то значение $x$ находится в интервале $(1, 2)$. Точное значение этого корня выражается через логарифм.

Ответ: $x = \log_2 3$.

2) Для решения уравнения $0.2^x = 5$ графическим способом построим графики функций $y = 0.2^x$ и $y = 5$.

График функции $y = 0.2^x$ – это показательная функция. Так как основание $a=0.2 < 1$, функция является убывающей. Она проходит через точку $(0, 1)$. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5}$. Функцию можно записать как $y = (\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$.

График функции $y = 5$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Построим графики. Мы ищем абсциссу их точки пересечения. Найдем значение $y=0.2^x$ при $x=-1$: $y = 0.2^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(-1, 5)$.

Ответ: $x = -1$.

3) Для решения уравнения $6^x = -1$ графическим способом построим графики функций $y = 6^x$ и $y = -1$.

График функции $y = 6^x$ – это показательная функция. Область значений показательной функции – все положительные числа, то есть $y > 0$ для любого $x$. График функции полностью лежит в верхней полуплоскости.

График функции $y = -1$ – это прямая, параллельная оси Ox, которая полностью лежит в нижней полуплоскости.

Так как графики функций не пересекаются, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) Для решения уравнения $(\frac{1}{6})^{x+1} = 4$ графическим способом построим графики функций $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ и $y = 4$.

График функции $y = (\frac{1}{6})^{x+1}$ получается из графика функции $y = (\frac{1}{6})^x$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Так как основание $a=\frac{1}{6} < 1$, функция является убывающей. Область значений $y > 0$.

График функции $y = 4$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Убывающая показательная функция и горизонтальная прямая (при $y>0$) пересекаются ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и будет решением. При $x=-1$, $y = (\frac{1}{6})^0 = 1$. При $x=-2$, $y = (\frac{1}{6})^{-1} = 6$. Так как $1 < 4 < 6$, корень уравнения находится в интервале $(-2, -1)$.

Ответ: $x = \log_{1/6} 4 - 1$.

5) Для решения уравнения $7^{-x} = -2$ графическим способом построим графики функций $y = 7^{-x}$ и $y = -2$.

Функцию $y = 7^{-x}$ можно записать как $y = (\frac{1}{7})^x$. Это показательная функция. Ее область значений – все положительные числа, $y > 0$ для любого $x$. График функции расположен выше оси Ox.

График функции $y = -2$ – это прямая, параллельная оси Ox, расположенная ниже оси Ox.

Графики этих функций не имеют точек пересечения.

Ответ: нет решений.

6) Для решения уравнения $4^{x-1} = 4.4$ графическим способом построим графики функций $y = 4^{x-1}$ и $y = 4.4$.

График функции $y = 4^{x-1}$ получается из графика функции $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Так как основание $a=4 > 1$, функция является возрастающей. Область значений $y > 0$.

График функции $y = 4.4$ – это прямая, параллельная оси Ox.

Возрастающая показательная функция и горизонтальная прямая (при $y>0$) пересекаются в одной точке. Найдем примерное положение корня. При $x=2$, $y = 4^{2-1} = 4$. При $x=3$, $y = 4^{3-1} = 16$. Так как $4 < 4.4 < 16$, корень уравнения находится в интервале $(2, 3)$, причем близко к 2.

Ответ: $x = \log_4(4.4) + 1$.