Номер 16.3, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.3. 1) $3^{x+2} - 3^x = 72;$

2) $2^x - 2^{x-4} = 15;$

3) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159;$

4) $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443.$

1) Решим уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать член $3^{x+2}$:

$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$9 \cdot 3^x - 3^x = 72$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (9 - 1) = 72$.

Упростим выражение в скобках:

$8 \cdot 3^x = 72$.

Разделим обе части уравнения на 8:

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$.

Так как $9 = 3^2$, получаем:

$3^x = 3^2$.

Отсюда следует, что $x=2$.

Ответ: $x=2$.

2) Решим уравнение $2^x - 2^{x-4} = 15$.

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, чтобы преобразовать член $2^{x-4}$:

$2^{x-4} = 2^x \cdot 2^{-4} = \frac{2^x}{16}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2^x - \frac{2^x}{16} = 15$.

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x (1 - \frac{1}{16}) = 15$.

Упростим выражение в скобках:

$2^x (\frac{16-1}{16}) = 15$

$2^x \cdot \frac{15}{16} = 15$.

Умножим обе части уравнения на $\frac{16}{15}$:

$2^x = 15 \cdot \frac{16}{15}$

$2^x = 16$.

Так как $16 = 2^4$, получаем:

$2^x = 2^4$.

Отсюда следует, что $x=4$.

Ответ: $x=4$.

3) Решим уравнение $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159$.

Используя свойство степеней, преобразуем каждый член уравнения, вынеся за скобки $3^{x-3}$:

$3^{x-3} (1 + 3^1 + 3^2) = 3159$.

Вычислим выражение в скобках:

$1 + 3 + 9 = 13$.

Подставим значение обратно в уравнение:

$3^{x-3} \cdot 13 = 3159$.

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^{x-3} = \frac{3159}{13}$

$3^{x-3} = 243$.

Представим число 243 в виде степени числа 3:

$243 = 3^5$.

Получаем:

$3^{x-3} = 3^5$.

Приравниваем показатели степеней:

$x-3 = 5$

$x = 5 + 3$

$x = 8$.

Ответ: $x=8$.

4) Решим уравнение $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443$.

Используя свойства степеней, преобразуем члены уравнения:

$3^{x+3} = 3^x \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^x$

$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (27 \cdot 3^x) - 5 \cdot (\frac{3^x}{9}) = 1443$.

Упростим выражение:

$54 \cdot 3^x - \frac{5}{9} \cdot 3^x = 1443$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (54 - \frac{5}{9}) = 1443$.

Вычислим выражение в скобках:

$54 - \frac{5}{9} = \frac{54 \cdot 9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{486 - 5}{9} = \frac{481}{9}$.

Получаем уравнение:

$3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443$.

Выразим $3^x$:

$3^x = 1443 \cdot \frac{9}{481}$.

Разделим 1443 на 481: $1443 \div 481 = 3$.

$3^x = 3 \cdot 9$.

Представим правую часть в виде степени числа 3:

$3^x = 3^1 \cdot 3^2 = 3^{1+2} = 3^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $x=3$.