Номер 16.1, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (16.1—16.6):

16.1. 1) $5^x = 625;$

2) $2^x = 1024;$

3) $3^x = 729;$

4) $7^x = \frac{1}{343};$

1) Чтобы решить показательное уравнение $5^x = 625$, необходимо представить обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5. Представим число 625 как степень числа 5.

$625 = 25 \cdot 25 = 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2} = 5^4$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^x = 5^4$.

Поскольку основания степеней равны, то и показатели степеней должны быть равны.

$x = 4$.

Ответ: $x=4$.

2) Решим уравнение $2^x = 1024$. Для этого представим число 1024 как степень с основанием 2.

Найдем степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить 1024:

$2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^{10}=1024$.

Итак, $1024 = 2^{10}$.

Подставим это в уравнение:

$2^x = 2^{10}$.

Приравнивая показатели степеней с одинаковым основанием, получаем:

$x = 10$.

Ответ: $x=10$.

3) Решим уравнение $3^x = 729$. Представим правую часть уравнения, число 729, в виде степени с основанием 3.

$729 = 9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 9^2 = 3^2 \cdot (3^2)^2 = 3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.

Уравнение принимает вид:

$3^x = 3^6$.

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x = 6$.

Ответ: $x=6$.

4) Решим уравнение $7^x = \frac{1}{343}$. Необходимо представить правую часть как степень с основанием 7.

Сначала найдем, в какой степени 7 дает 343:

$7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 49 \cdot 7 = 343$.

Теперь используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Следовательно, $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$7^x = 7^{-3}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = -3$.

Ответ: $x=-3$.