Номер 10, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6xe^x$ на отрезке [1; 2]:

A) 6; 12;

B) $6e^2; 12e;$

C) $6e; 12e;$

D) $12e^2; 6e.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6xe^x$ на отрезке $[1; 2]$, необходимо выполнить следующий алгоритм.

1. Найти производную функции.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = 6x$ и $v(x) = e^x$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (6x)'e^x + 6x(e^x)' = 6e^x + 6xe^x$.

Вынесем общий множитель $6e^x$ за скобки:

$y' = 6e^x(1 + x)$.

2. Найти критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $y' = 6e^x(1 + x)$ существует при любых значениях $x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$6e^x(1 + x) = 0$.

Поскольку множитель $6e^x$ всегда строго положителен ($e^x > 0$ для любого $x$), равенство выполняется только тогда, когда второй множитель равен нулю:

$1 + x = 0$

$x = -1$.

3. Проверить принадлежность критических точек заданному отрезку.

Найденная критическая точка $x = -1$ не принадлежит отрезку $[1; 2]$.

Это означает, что на отрезке $[1; 2]$ функция является монотонной. Знак производной $y' = 6e^x(1 + x)$ на этом отрезке постоянен. Поскольку для любого $x \in [1; 2]$ оба множителя $6e^x$ и $(1+x)$ положительны, производная $y'$ на этом отрезке также положительна. Следовательно, функция $y(x)$ строго возрастает на отрезке $[1; 2]$.

4. Вычислить значения функции на концах отрезка.

Так как функция возрастает на отрезке $[1; 2]$, свое наименьшее значение она принимает в левой граничной точке ($x=1$), а наибольшее — в правой ($x=2$).

Вычислим эти значения:

Значение функции в точке $x=1$:

$y(1) = 6 \cdot 1 \cdot e^1 = 6e$.

Значение функции в точке $x=2$:

$y(2) = 6 \cdot 2 \cdot e^2 = 12e^2$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ равно $6e$, а наибольшее значение равно $12e^2$.

Ответ: Наибольшее значение $12e^2$, наименьшее значение $6e$.