Номер 13, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 1$, $x = 2$:

A $2\ln2 - 2$; B) $\frac{3}{\ln2} - 2$; C) $4\ln2 - 2$; D) $\ln2 - 2$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями, вычисляется с помощью определенного интеграла. Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу графиком функции $g(x)$, и прямыми $x = a$ и $x = b$, имеет вид:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

В данном случае фигура ограничена следующими линиями:

1. Верхняя граница: $f(x) = 2^x$ (показательная функция, возрастающая).

2. Нижняя граница: $g(x) = 1$ (горизонтальная прямая).

3. Правая граница: $x = 2$ (вертикальная прямая). Это будет верхний предел интегрирования, $b = 2$.

Чтобы найти левую границу (нижний предел интегрирования $a$), нужно найти точку пересечения графиков $y = 2^x$ и $y = 1$.

$2^x = 1$

$2^x = 2^0$

$x = 0$

Таким образом, нижний предел интегрирования $a = 0$.

Теперь подставим все значения в формулу для площади:

$S = \int_{0}^{2} (2^x - 1) dx$

Вычислим интеграл. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $(2^x - 1)$:

$\int (2^x - 1) dx = \int 2^x dx - \int 1 dx = \frac{2^x}{\ln 2} - x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$S = \left. \left( \frac{2^x}{\ln 2} - x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{2^2}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{2^0}{\ln 2} - 0 \right)$

Подставим значения и упростим выражение:

$S = \left( \frac{4}{\ln 2} - 2 \right) - \left( \frac{1}{\ln 2} \right) = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} - 2 = \frac{4-1}{\ln 2} - 2 = \frac{3}{\ln 2} - 2$

Полученный результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $\frac{3}{\ln 2} - 2$