Номер 16.6, страница 105 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.6. 1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$;

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$;

3) $0,6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$;

4) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{125}{27}\right)^3$.

1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$

Данное показательное уравнение имеет вид $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где основания $a=5$ и $b=6$ различны ($a, b > 0$, $a, b \neq 1$). Равенство возможно только в том случае, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.

Приравняем показатель степени к нулю:

$2x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x_2 = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0; 0,5

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$

Разделим обе части уравнения на $7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$ (можно разделить на $7 \cdot 7^{x^2-5x+7}$ или на $8 \cdot 8^{x^2-5x+7}$, результат будет тот же). Разделим обе части на произведение $7^{x^2-5x+7} \cdot 8^{x^2-5x+7}$. Это выражение не равно нулю.

$\frac{8}{8^{x^2-5x+7}} = \frac{7}{7^{x^2-5x+7}}$

$8^{1-(x^2-5x+7)} = 7^{1-(x^2-5x+7)}$

$8^{-x^2+5x-6} = 7^{-x^2+5x-6}$

Как и в первом примере, равенство возможно только тогда, когда показатель степени равен нулю.

$-x^2+5x-6=0$

$x^2-5x+6=0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Альтернативный способ:

Разделим обе части уравнения на $7 \cdot 7^{x^2-5x+7}$:

$\frac{8}{7} = \frac{8^{x^2-5x+7}}{7^{x^2-5x+7}}$

$(\frac{8}{7})^1 = (\frac{8}{7})^{x^2-5x+7}$

Приравниваем показатели: $1 = x^2 - 5x + 7$, что приводит к тому же уравнению $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Ответ: 2; 3

3) $0,6^x \cdot (\frac{25}{9})^{x^2-12} = (\frac{27}{125})^3$

Приведем все основания к одному числу. Заметим, что все они являются степенями дроби $\frac{3}{5}$ или $\frac{5}{3}$. Выберем основание $\frac{3}{5}$.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 = ((\frac{3}{5})^{-1})^2 = (\frac{3}{5})^{-2}$

$\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$

Подставим преобразованные основания в исходное уравнение:

$(\frac{3}{5})^x \cdot ((\frac{3}{5})^{-2})^{x^2-12} = ((\frac{3}{5})^3)^3$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-2(x^2-12)} = (\frac{3}{5})^{3 \cdot 3}$

$(\frac{3}{5})^{x - 2(x^2 - 12)} = (\frac{3}{5})^9$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x - 2(x^2 - 12) = 9$

$x - 2x^2 + 24 = 9$

$-2x^2 + x + 24 - 9 = 0$

$-2x^2 + x + 15 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Ответ: -2,5; 3

4) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2+2x-11} = (\frac{125}{27})^3$

Приведем все основания к одному, в данном случае к $\frac{5}{3}$.

$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$

$\frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3$

Подставим преобразованные основания в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2+2x-11} = ((\frac{5}{3})^3)^3$

Применяя свойства степеней, получим:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2+2x-11)} = (\frac{5}{3})^{9}$

$(\frac{5}{3})^{(x+1) - 2(x^2+2x-11)} = (\frac{5}{3})^9$

Приравниваем показатели степеней:

$x + 1 - 2(x^2 + 2x - 11) = 9$

$x + 1 - 2x^2 - 4x + 22 = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x^2 - 3x + 23 = 9$

$-2x^2 - 3x + 14 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2x^2 + 3x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 11}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-3 - 11}{4} = \frac{-14}{4} = -3,5$

Ответ: -3,5; 2