Номер 16.12, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.12. 1) $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4;$

2) $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1};$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0.$

1)Дано уравнение: $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$.Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{x-5}$.Представим каждый член уравнения через $5^{x-5}$:$5^{x-3} = 5^{(x-5)+2} = 5^{x-5} \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^{x-5}$$5^{x-4} = 5^{(x-5)+1} = 5^{x-5} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{x-5}$Подставим эти выражения в исходное уравнение:$25 \cdot 5^{x-5} - 5 \cdot 5^{x-5} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$Перенесем все слагаемые с $5^{x-5}$ в левую часть уравнения:$25 \cdot 5^{x-5} - 5 \cdot 5^{x-5} - 16 \cdot 5^{x-5} = 4$Вынесем $5^{x-5}$ за скобки:$5^{x-5} \cdot (25 - 5 - 16) = 4$$5^{x-5} \cdot 4 = 4$Разделим обе части на 4:$5^{x-5} = 1$Так как любое число в степени 0 равно 1, запишем 1 как $5^0$:$5^{x-5} = 5^0$Приравниваем показатели степеней:$x - 5 = 0$$x = 5$

Ответ: $x=5$.

2)Дано уравнение: $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1}$.Преобразуем степени, чтобы привести их к одинаковым основаниям: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 - в правую:$2^{2x} + 2^{2x-1} = 3^{x+0.5} + 3^{x-0.5}$Вынесем за скобки общие множители с наименьшей степенью:$2^{2x-1}(2^1 + 1) = 3^{x-0.5}(3^1 + 1)$Упростим выражения в скобках:$2^{2x-1} \cdot 3 = 3^{x-0.5} \cdot 4$Используем свойства степеней:$\frac{2^{2x}}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{3^{0.5}} \cdot 4$$\frac{4^x}{2} \cdot 3 = \frac{3^x}{\sqrt{3}} \cdot 4$Разделим переменные. Перенесем $3^x$ влево, а константы вправо:$\frac{4^x}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3\sqrt{3}}$Представим правую часть как степень с основанием $\frac{4}{3}$:$\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{2^3}{3^{1} \cdot 3^{1/2}} = \frac{2^3}{3^{3/2}} = \frac{(2^2)^{3/2}}{3^{3/2}} = \frac{4^{3/2}}{3^{3/2}} = (\frac{4}{3})^{3/2}$Получаем уравнение:$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{3/2}$Приравниваем показатели степеней:$x = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $x=1.5$.

3)Дано уравнение: $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 - в правую:$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем для каждой из частей:В левой части вынесем $2^{x^2-1}$: $2^{x^2+2} = 2^{(x^2-1)+3} = 2^{x^2-1} \cdot 2^3$.В правой части вынесем $3^{x^2-1}$: $3^{x^2} = 3^{(x^2-1)+1} = 3^{x^2-1} \cdot 3^1$.$2^{x^2-1} (1 + 2^3) = 3^{x^2-1} (1 + 3^1)$Упростим выражения в скобках:$2^{x^2-1} \cdot (1 + 8) = 3^{x^2-1} \cdot (1 + 3)$$2^{x^2-1} \cdot 9 = 3^{x^2-1} \cdot 4$Разделим переменные:$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$$(\frac{2}{3})^{x^2-1} = (\frac{2}{3})^2$Приравниваем показатели степеней:$x^2 - 1 = 2$$x^2 = 3$Извлекаем квадратный корень:$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

4)Дано уравнение: $5^{2x} - 7^x - 35 \cdot 5^{2x} + 35 \cdot 7^x = 0$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми показательными функциями:$(5^{2x} - 35 \cdot 5^{2x}) + (35 \cdot 7^x - 7^x) = 0$Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:$5^{2x}(1 - 35) + 7^x(35 - 1) = 0$$5^{2x}(-34) + 7^x(34) = 0$Перенесем одно из слагаемых в правую часть:$34 \cdot 7^x = 34 \cdot 5^{2x}$Разделим обе части уравнения на 34:$7^x = 5^{2x}$Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и преобразуем правую часть:$7^x = (5^2)^x$$7^x = 25^x$Разделим обе части на $7^x$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):$1 = \frac{25^x}{7^x}$$1 = (\frac{25}{7})^x$Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:$x = 0$

Ответ: $x=0$.