Номер 16.15, страница 106 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы уравнений (16.15–16.17):

16.15. 1)

$\begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75, \\ 3^y \cdot 5^x = 45; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y}, \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y}. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^x \cdot 5^y = 75 \\ 3^y \cdot 5^x = 45 \end{cases} $.

Для решения системы перемножим два ее уравнения: $(3^x \cdot 5^y) \cdot (3^y \cdot 5^x) = 75 \cdot 45$.

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и разложим числа в правой части на простые множители: $3^{x+y} \cdot 5^{x+y} = (3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)$.

Это дает $(3 \cdot 5)^{x+y} = 3^3 \cdot 5^3$, или $15^{x+y} = (3 \cdot 5)^3 = 15^3$.

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны. Отсюда получаем первое уравнение: $x+y=3$.

Теперь разделим первое уравнение системы на второе: $\frac{3^x \cdot 5^y}{3^y \cdot 5^x} = \frac{75}{45}$.

Преобразуем левую часть по свойству степеней, а правую сократим: $3^{x-y} \cdot 5^{y-x} = \frac{5}{3}$.

Левую часть можно записать как $3^{x-y} \cdot (5^{-1})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{x-y}$.

Тогда уравнение примет вид $(\frac{3}{5})^{x-y} = \frac{5}{3}$, что равносильно $(\frac{3}{5})^{x-y} = (\frac{3}{5})^{-1}$.

Отсюда получаем второе уравнение: $x-y=-1$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases} $.

Сложив эти два уравнения, получаем $2x=2$, откуда $x=1$.

Подставив $x=1$ в первое уравнение, находим $y$: $1+y=3 \Rightarrow y=2$.

Таким образом, решение системы — $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 3^{3x} = 3^{7-y} \\ \frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{y} \end{cases} $.

Из первого показательного уравнения, так как основания равны ($3$), следует равенство показателей: $3x = 7-y$.

Выразим $y$ через $x$: $y = 7 - 3x$.

Во втором уравнении есть ограничения на переменные (область допустимых значений): $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Из $y=7-3x$ и $y \neq 0$ следует, что $7-3x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{7}{3}$.

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение системы: $\frac{1}{x} + 2 = \frac{12}{7 - 3x}$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(7-3x)$, чтобы избавиться от дробей: $(7-3x) + 2x(7-3x) = 12x$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $7 - 3x + 14x - 6x^2 = 12x$.

$7 + 11x - 6x^2 = 12x$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $6x^2 + 12x - 11x - 7 = 0$, что упрощается до $6x^2 + x - 7 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-1+13}{12} = \frac{12}{12} = 1$ и $x_2 = \frac{-1-13}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$.

Оба найденных корня удовлетворяют ограничениям $x \neq 0$ и $x \neq \frac{7}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя формулу $y = 7 - 3x$:

При $x_1=1$, $y_1 = 7 - 3(1) = 4$. Получаем первое решение $(1; 4)$.

При $x_2=-\frac{7}{6}$, $y_2 = 7 - 3(-\frac{7}{6}) = 7 + \frac{21}{6} = 7 + \frac{7}{2} = \frac{14}{2} + \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$. Получаем второе решение $(-\frac{7}{6}; \frac{21}{2})$.

Ответ: $(1; 4)$, $(-\frac{7}{6}; \frac{21}{2})$.