Номер 17.4, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17.4. 1) $\log_{3.2}(2 - x) = \log_{3.2}(3x + 6);$

2) $\log_{0.8}(1 + 2x) = \log_{0.8}(4x - 10);$

3) $\log_{2}(x - 6) + \log_{2}(x - 8) = 3;$

4) $\log_{8}(x - 2) - \log_{8}(x - 3) = \frac{1}{3}.$

1) Исходное уравнение: $\log_{3.2}(2 - x) = \log_{3.2}(3x + 6)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 2)$.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$2 - x = 3x + 6$

$2 - 6 = 3x + x$

$-4 = 4x$

$x = -1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-2 < -1 < 2$, корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$.

2) Исходное уравнение: $\log_{0.8}(1 + 2x) = \log_{0.8}(4x - 10)$.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + 2x > 0 \\ 4x - 10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -1 \\ 4x > 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (2.5; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы:

$1 + 2x = 4x - 10$

$1 + 10 = 4x - 2x$

$11 = 2x$

$x = 5.5$

Значение $x = 5.5$ принадлежит ОДЗ, так как $5.5 > 2.5$.

Ответ: $5.5$.

3) Исходное уравнение: $\log_{2}(x - 6) + \log_{2}(x - 8) = 3$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x > 8 \end{cases} $

Отсюда ОДЗ: $x \in (8; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_{2}((x - 6)(x - 8)) = 3$

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):

$(x - 6)(x - 8) = 2^3$

$x^2 - 8x - 6x + 48 = 8$

$x^2 - 14x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 40. Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 10$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x > 8$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

4) Исходное уравнение: $\log_{8}(x - 2) - \log_{8}(x - 3) = \frac{1}{3}$.

Найдем ОДЗ: $ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases} $, откуда $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_{8}\left(\frac{x - 2}{x - 3}\right) = \frac{1}{3}$

По определению логарифма:

$\frac{x - 2}{x - 3} = 8^{\frac{1}{3}}$

$\frac{x - 2}{x - 3} = \sqrt[3]{8}$

$\frac{x - 2}{x - 3} = 2$

Решаем уравнение (знаменатель не равен нулю в ОДЗ):

$x - 2 = 2(x - 3)$

$x - 2 = 2x - 6$

$6 - 2 = 2x - x$

$x = 4$

Полученное значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 3$).

Ответ: $4$.