Страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

3. В каких случаях значение переменной $x$ не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

1. Обязательно ли надо находить область допустимых значений переменной логарифмического уравнения?

Находить область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения не всегда является единственно возможным шагом, но это один из надежных способов избежать получения посторонних корней. Существует несколько подходов к решению этой задачи:

1. Нахождение ОДЗ в начале решения. Это классический и самый надежный метод. Вы сначала находите все значения переменной $x$, при которых все логарифмические выражения в уравнении имеют смысл. Затем, решив уравнение, вы отбрасываете те корни, которые не входят в найденную ОДЗ. Этот метод хорош, когда неравенства для ОДЗ решаются достаточно просто.

2. Проверка корней в конце решения. Можно сначала решить уравнение, не обращая внимания на ограничения, а затем подставить найденные значения в исходное уравнение. Если при подстановке какого-либо корня аргумент хотя бы одного логарифма окажется неположительным ($ \le 0$) или основание окажется неположительным или равным единице, то этот корень является посторонним и его следует отбросить. Этот способ удобен, когда нахождение ОДЗ является более трудоемкой задачей, чем само решение уравнения, или когда уравнение имеет небольшое количество корней, которые легко проверить.

3. Использование равносильных переходов. Этот метод объединяет решение и проверку. Например, уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ равносильно системе:$\begin{cases}f(x) = g(x) \\f(x) > 0\end{cases}$или системе$\begin{cases}f(x) = g(x) \\g(x) > 0\end{cases}$.Здесь мы решаем уравнение $ f(x) = g(x) $ и затем проверяем выполнение только одного из неравенств ($ f(x) > 0 $ или $ g(x) > 0 $), так как из равенства $ f(x) = g(x) $ автоматически следует, что и второе выражение будет положительным. Этот подход часто упрощает вычисления.

Таким образом, строгого требования всегда начинать с нахождения ОДЗ нет, но контроль за допустимыми значениями переменной (либо через ОДЗ, либо через проверку, либо через равносильные переходы) является обязательной частью решения любого логарифмического уравнения.

Ответ: Нет, не обязательно находить ОДЗ в самом начале, но обязательно нужно убедиться, что найденные корни принадлежат области допустимых значений. Это можно сделать либо предварительным нахождением ОДЗ, либо проверкой корней подстановкой в исходное уравнение, либо с помощью равносильных преобразований.

2. Назовите общие способы решения показательных и логарифмических уравнений.

Существуют как общие методы, применимые к обоим типам уравнений, так и специфические для каждого из них.

Общие методы:

• Введение новой переменной (метод замены). Один из самых распространенных методов. Если уравнение можно привести к алгебраическому виду (например, квадратному) относительно некоторой функции, вводится новая переменная. Например, в уравнении $ 4^x - 2^x - 2 = 0 $ делается замена $ t = 2^x $, а в уравнении $ \lg^2x - \lg x - 2 = 0 $ — замена $ t = \lg x $.

• Графический метод. Строятся графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Метод часто используется для оценки количества корней или их приближенного нахождения.

Способы решения показательных уравнений:

• Приведение к одному основанию. Уравнение вида $ a^{f(x)} = a^{g(x)} $ (где $ a > 0, a \neq 1 $) равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $.

• Вынесение общего множителя за скобки. Применяется в уравнениях, где есть члены с одинаковым основанием, но разными показателями. Например, $ 3^{x+2} - 3^x = 72 \Rightarrow 3^x(3^2 - 1) = 72 \Rightarrow 3^x \cdot 8 = 72 $.

• Логарифмирование обеих частей. Используется, когда основания степеней различны и их нельзя привести к одному. Например, для уравнения $ a^{f(x)} = b^{g(x)} $ можно взять логарифм от обеих частей по любому основанию.

Способы решения логарифмических уравнений:

• Использование определения логарифма (потенцирование). Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = b $ равносильно уравнению $ f(x) = a^b $ (при этом автоматически выполняется условие $ f(x) > 0 $, так как $ a^b > 0 $).

• Приведение к одному основанию логарифмов. Уравнение вида $ \log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) $ приводится к виду $ f(x) = g(x) $ с обязательной последующей проверкой корней или учетом ОДЗ ($ f(x) > 0, g(x) > 0 $).

• Использование формулы перехода к новому основанию. Применяется, если в уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями. Формула: $ \log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b} $.

• Использование свойств логарифмов. Применение формул суммы, разности, произведения и частного для преобразования уравнения к более простому виду. Важно помнить, что такие преобразования могут изменять ОДЗ.

Ответ: Основные способы: введение новой переменной, графический метод, приведение к одному основанию (для показательных и логарифмических), логарифмирование (для показательных), потенцирование (для логарифмических), использование свойств функций.

3. В каких случаях значение переменной x не является решением логарифмического уравнения? Ответ обоснуйте.

Значение переменной $ x $, найденное в процессе решения, не является решением (является посторонним корнем) логарифмического уравнения, если оно не входит в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Обоснование:

Логарифмическая функция $ y = \log_a(b) $ определена только при выполнении трех условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ b > 0 $.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля: $ a > 0 $.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $ a \neq 1 $.

При решении логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые могут расширить ОДЗ. Классический пример — использование свойства суммы логарифмов:$ \log_a(f(x)) + \log_a(g(x)) = \log_a(f(x) \cdot g(x)) $ОДЗ левой части уравнения определяется системой неравенств $ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $. В то же время ОДЗ правой части определяется одним, менее строгим неравенством $ f(x) \cdot g(x) > 0 $, которое выполняется также и в случае, когда $ f(x) < 0 $ и $ g(x) < 0 $.Из-за такого расширения области определения при решении преобразованного уравнения могут появиться "посторонние" корни, которые не удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение $ \log_3(x-4) + \log_3(x-2) = 1 $.

1. Найдем ОДЗ: $ \begin{cases} x-4 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 4 $.

2. Преобразуем уравнение: $ \log_3((x-4)(x-2)) = 1 $.

3. Решим полученное уравнение методом потенцирования:

$ (x-4)(x-2) = 3^1 $

$ x^2 - 6x + 8 = 3 $

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 5 $.

4. Проверим корни по ОДЗ ($ x > 4 $):

• $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ x > 4 $, следовательно, это посторонний корень. Если подставить $ x=1 $ в исходное уравнение, получим $ \log_3(-3) + \log_3(-1) $, что не имеет смысла.

• $ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ x > 4 $, следовательно, это единственный корень уравнения.

Ответ: Значение переменной $ x $ не является решением, если при подстановке его в исходное уравнение нарушаются условия существования логарифма: аргумент становится отрицательным или равным нулю, либо основание становится отрицательным, равным нулю или единице. Это происходит, когда найденный корень не входит в область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

Решите уравнения (17.1–17.5):

17.1. 1) $log_{7} x = 2;$ 2) $log_{\frac{2}{3}} x = 3;$

3) $log_{5} x = -3;$ 4) $log_{\frac{4}{7}} x = -2.$

1) Дано уравнение $\log_7 x = 2$.

По определению логарифма, выражение $\log_a b = c$ равносильно выражению $b = a^c$. Применим это определение к нашему уравнению.

Получаем: $x = 7^2$.

Вычисляем значение $x$:

$x = 49$.

Ответ: $49$.

2) Дано уравнение $\log_{\frac{2}{3}} x = 3$.

Согласно определению логарифма, это уравнение можно переписать в виде:

$x = \left(\frac{2}{3}\right)^3$.

Возводим дробь в степень:

$x = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

3) Дано уравнение $\log_5 x = -3$.

Используя определение логарифма, получаем:

$x = 5^{-3}$.

Для вычисления степени с отрицательным показателем воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$.

Ответ: $\frac{1}{125}$.

4) Дано уравнение $\log_{\frac{4}{7}} x = -2$.

По определению логарифма, имеем:

$x = \left(\frac{4}{7}\right)^{-2}$.

Для возведения дроби в отрицательную степень воспользуемся свойством $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$:

$x = \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$.

Ответ: $\frac{49}{16}$.

17.2. 1) $\log_{\frac{1}{8}}(x - 4) = -1;$

2) $\log_{2.5}(x + 2) = 1;$

3) $\lg x = -2;$

4) $\ln x = 1.$

1) Решим логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{3}}(x - 4) = -1 $.

По определению логарифма, равенство $ \log_b a = c $ эквивалентно равенству $ a = b^c $.

В данном случае основание $ b = \frac{1}{3} $, аргумент $ a = x - 4 $, а значение логарифма $ c = -1 $.

Применяя определение, получаем:$ x - 4 = (\frac{1}{3})^{-1} $

Вычисляем правую часть:$ (\frac{1}{3})^{-1} = 3 $

Подставляем значение обратно в уравнение:$ x - 4 = 3 $

$ x = 3 + 4 $

$ x = 7 $

Необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ) логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:$ x - 4 > 0 $

$ x > 4 $

Найденный корень $ x = 7 $ удовлетворяет этому условию, так как $ 7 > 4 $.

Ответ: $7$

2) Решим уравнение $ \log_{2.5}(x + 2) = 1 $.

Используя определение логарифма ($ a = b^c $), где $ b = 2.5 $, $ a = x + 2 $ и $ c = 1 $, получаем:

$ x + 2 = 2.5^1 $

$ x + 2 = 2.5 $

Находим $ x $:$ x = 2.5 - 2 $

$ x = 0.5 $

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.$ x + 2 > 0 $

$ x > -2 $

Корень $ x = 0.5 $ удовлетворяет условию $ 0.5 > -2 $.

Ответ: $0.5$

3) Решим уравнение $ \lg x = -2 $.

Символ $ \lg $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:$ \log_{10} x = -2 $

По определению логарифма:$ x = 10^{-2} $

$ x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 $

ОДЗ для данного уравнения: $ x > 0 $.

Найденный корень $ x = 0.01 $ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $0.01$

4) Решим уравнение $ \ln x = 1 $.

Символ $ \ln $ обозначает натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $ e $ (число Эйлера, $ e \approx 2.718 $). Уравнение можно переписать как:$ \log_e x = 1 $

По определению логарифма:$ x = e^1 $

$ x = e $

ОДЗ для данного уравнения: $ x > 0 $.

Поскольку $ e > 0 $, найденный корень $ x = e $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $e$

17.3. 1) $\lg_2(x^2 - 2x) = 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(4x + x^2) = -1;$

3) $\lg_{0.5}(x^3 + 1) = -1;$

4) $\lg(7x - x^2) = 1.$

1) Решим логарифмическое уравнение $log_2(x^2 - 2x) = 3$.

Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$

$x(x - 2) > 0$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

Теперь решим само уравнение, используя определение логарифма: $log_a(b) = c \iff a^c = b$.

$x^2 - 2x = 2^3$

$x^2 - 2x = 8$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Легко подобрать корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 4$ принадлежит интервалу $(2, +\infty)$, значит, он является решением.

Корень $x_2 = -2$ принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$, значит, он также является решением.

Ответ: -2; 4.

2) Решим уравнение $log_{\frac{1}{3}}(4x + x^2) = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + x^2 > 0$

$x(4 + x) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)$.

По определению логарифма:

$4x + x^2 = (\frac{1}{3})^{-1}$

$4x + x^2 = 3$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 4x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$

Получаем два корня:

$x_1 = -2 + \sqrt{7}$

$x_2 = -2 - \sqrt{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то:

$x_1 = -2 + \sqrt{7} > -2 + 2 = 0$. Этот корень входит в ОДЗ.

$x_2 = -2 - \sqrt{7} < -2 - 2 = -4$. Этот корень также входит в ОДЗ.

Ответ: $-2 - \sqrt{7}$; $-2 + \sqrt{7}$.

3) Решим уравнение $log_{0.5}(x^3 + 1) = -1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x^3 + 1 > 0$

$x^3 > -1$

$x > -1$

Теперь решаем уравнение. Заметим, что $0.5 = \frac{1}{2}$.

$x^3 + 1 = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1}$

$x^3 + 1 = 2$

$x^3 = 2 - 1$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Проверим корень на соответствие ОДЗ: $1 > -1$. Корень подходит.

Ответ: 1.

4) Решим уравнение $lg(7x - x^2) = 1$.

Здесь $lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $log_{10}(7x - x^2) = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$7x - x^2 > 0$

$x(7 - x) > 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 7)$.

По определению логарифма:

$7x - x^2 = 10^1$

$7x - x^2 = 10$

Перенесем все в правую часть и запишем в стандартном виде:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

17.4. 1) $\log_{3.2}(2 - x) = \log_{3.2}(3x + 6);$

2) $\log_{0.8}(1 + 2x) = \log_{0.8}(4x - 10);$

3) $\log_{2}(x - 6) + \log_{2}(x - 8) = 3;$

4) $\log_{8}(x - 2) - \log_{8}(x - 3) = \frac{1}{3}.$

1) Исходное уравнение: $\log_{3.2}(2 - x) = \log_{3.2}(3x + 6)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3x > -6 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 2)$.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$2 - x = 3x + 6$

$2 - 6 = 3x + x$

$-4 = 4x$

$x = -1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-2 < -1 < 2$, корень $x = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-1$.

2) Исходное уравнение: $\log_{0.8}(1 + 2x) = \log_{0.8}(4x - 10)$.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 1 + 2x > 0 \\ 4x - 10 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -1 \\ 4x > 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -0.5 \\ x > 2.5 \end{cases} $

Следовательно, ОДЗ: $x \in (2.5; +\infty)$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания одинаковы:

$1 + 2x = 4x - 10$

$1 + 10 = 4x - 2x$

$11 = 2x$

$x = 5.5$

Значение $x = 5.5$ принадлежит ОДЗ, так как $5.5 > 2.5$.

Ответ: $5.5$.

3) Исходное уравнение: $\log_{2}(x - 6) + \log_{2}(x - 8) = 3$.

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 6 > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x > 8 \end{cases} $

Отсюда ОДЗ: $x \in (8; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_{2}((x - 6)(x - 8)) = 3$

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):

$(x - 6)(x - 8) = 2^3$

$x^2 - 8x - 6x + 48 = 8$

$x^2 - 14x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 40. Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = 10$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x > 8$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

4) Исходное уравнение: $\log_{8}(x - 2) - \log_{8}(x - 3) = \frac{1}{3}$.

Найдем ОДЗ: $ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases} $, откуда $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_{8}\left(\frac{x - 2}{x - 3}\right) = \frac{1}{3}$

По определению логарифма:

$\frac{x - 2}{x - 3} = 8^{\frac{1}{3}}$

$\frac{x - 2}{x - 3} = \sqrt[3]{8}$

$\frac{x - 2}{x - 3} = 2$

Решаем уравнение (знаменатель не равен нулю в ОДЗ):

$x - 2 = 2(x - 3)$

$x - 2 = 2x - 6$

$6 - 2 = 2x - x$

$x = 4$

Полученное значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 3$).

Ответ: $4$.

17.5. 1) $lg (5 - x) = \frac{1}{3} lg(35 - x^3);$

2) $\log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0;$

3) $\log_{\sqrt{5}} (4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}} (2x - 5);$

4) $\log_2 (3x - 6) - 1 = \log_2 (9x - 19).$

1) Исходное уравнение: $lg(5 - x) = \frac{1}{3}lg(35 - x^3)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 35 - x^3 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x < 5 \\ x^3 < 35 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x < 5 \\ x < \sqrt[3]{35} \end{cases}$

Так как $\sqrt[3]{35}$ находится между $3$ ($\sqrt[3]{27}$) и $4$ ($\sqrt[3]{64}$), то условие $x < \sqrt[3]{35}$ является более строгим. ОДЗ: $x < \sqrt[3]{35}$.

Теперь решим уравнение. Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:

$lg(5 - x) = lg((35 - x^3)^{\frac{1}{3}})$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$5 - x = (35 - x^3)^{\frac{1}{3}}$

$5 - x = \sqrt[3]{35 - x^3}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$(5 - x)^3 = 35 - x^3$

Раскроем скобки в левой части по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 35 - x^3$

$125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35 - x^3$

Сократим $-x^3$ в обеих частях и перенесем все члены в одну сторону:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим уравнение на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x < \sqrt[3]{35} \approx 3.27$).

Для $x_1 = 2$: $2 < \sqrt[3]{35}$ (верно).

Для $x_2 = 3$: $3 < \sqrt[3]{35}$ (верно, так как $3^3 = 27 < 35$).

Оба корня подходят.

Ответ: $2; 3$.

2) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x - 5}{x + 5} + \log_2 (x + 5) = 0$.

ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{x - 5}{x + 5} > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x > -5$. Если знаменатель $x+5$ положителен, то для того, чтобы дробь была положительной, числитель также должен быть положителен: $x - 5 > 0$, то есть $x > 5$. Это условие является наиболее строгим. ОДЗ: $x > 5$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_2 \left(\frac{x - 5}{x + 5} \cdot (x + 5)\right) = 0$

$\log_2 (x - 5) = 0$

По определению логарифма:

$x - 5 = 2^0$

$x - 5 = 1$

$x = 6$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 5$): $6 > 5$ (верно).

Ответ: $6$.

3) Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - 2 = \log_{\sqrt{5}}(2x - 5)$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 6 > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 4x > 6 \\ 2x > 5 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 1.5 \\ x > 2.5 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2.5$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число в другую:

$\log_{\sqrt{5}}(4x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(2x - 5) = 2$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{\sqrt{5}} \frac{4x - 6}{2x - 5} = 2$

По определению логарифма:

$\frac{4x - 6}{2x - 5} = (\sqrt{5})^2$

$\frac{4x - 6}{2x - 5} = 5$

Умножим обе части на $(2x - 5)$, что не равно нулю в силу ОДЗ:

$4x - 6 = 5(2x - 5)$

$4x - 6 = 10x - 25$

$25 - 6 = 10x - 4x$

$19 = 6x$

$x = \frac{19}{6}$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 2.5$). $2.5 = \frac{5}{2} = \frac{15}{6}$. Так как $\frac{19}{6} > \frac{15}{6}$, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{19}{6}$.

4) Исходное уравнение: $\log_2(3x - 6) - 1 = \log_2(9x - 19)$.

ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 6 > 0 \\ 9x - 19 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3x > 6 \\ 9x > 19 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{19}{9} \end{cases}$

Так как $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9} > 2$, то ОДЗ: $x > \frac{19}{9}$.

Перенесем логарифмы в одну часть уравнения:

$\log_2(3x - 6) - \log_2(9x - 19) = 1$

Используем свойство разности логарифмов:

$\log_2 \frac{3x - 6}{9x - 19} = 1$

По определению логарифма:

$\frac{3x - 6}{9x - 19} = 2^1$

$\frac{3x - 6}{9x - 19} = 2$

Умножим обе части на $(9x - 19)$:

$3x - 6 = 2(9x - 19)$

$3x - 6 = 18x - 38$

$38 - 6 = 18x - 3x$

$32 = 15x$

$x = \frac{32}{15}$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > \frac{19}{9}$). Сравним дроби $\frac{32}{15}$ и $\frac{19}{9}$. Приведем к общему знаменателю 45: $\frac{32 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{96}{45}$ и $\frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{95}{45}$.

Так как $\frac{96}{45} > \frac{95}{45}$, то $\frac{32}{15} > \frac{19}{9}$, и корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{32}{15}$.

17.6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 8, \\ \log_3 x + \log_3 y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 14, \\ \log_{\frac{1}{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} y = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\ x + y = 20; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \lg x - \lg y = 0, \\ 2x - y = 10. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x-y=8, \\\log_3 x+\log_3 y=2; \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 8$.

Подставив это в условие $x > 0$, получим $y + 8 > 0$, то есть $y > -8$. Совмещая с условием $y > 0$, получаем, что $y > 0$. Если $y > 0$, то $x = y+8 > 8$, что автоматически удовлетворяет условию $x > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3(xy) = 2$

По определению логарифма:

$xy = 3^2$

$xy = 9$

Получаем систему алгебраических уравнений:

$\begin{cases} x = y+8, \\xy = 9; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$(y+8)y = 9$

$y^2 + 8y - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=1$ и $y_2=-9$.

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($y>0$). Корень $y_2=-9$ не удовлетворяет условию. Корень $y_1=1$ подходит.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 1 + 8 = 9$

Пара $(9, 1)$ удовлетворяет ОДЗ. Проверим решение: $9-1=8$ и $\log_3 9 + \log_3 1 = 2+0=2$.

Ответ: $(9, 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x-y=14, \\\log_{\frac{1}{2}} x+\log_{\frac{1}{2}} y=-1; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Из первого уравнения: $x = y + 14$. Так как $x > 0$, то $y > -14$. С учетом $y > 0$, итоговое условие $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}(xy) = -1$

По определению логарифма:

$xy = (\frac{1}{2})^{-1}$

$xy = 2$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = y+14, \\xy = 2; \end{cases}$

Подставим $x$ из первого уравнения во второе:

$(y+14)y = 2$

$y^2 + 14y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4(1)(-2) = 196 + 8 = 204$.

$\sqrt{D} = \sqrt{204} = \sqrt{4 \cdot 51} = 2\sqrt{51}$.

$y = \frac{-14 \pm 2\sqrt{51}}{2} = -7 \pm \sqrt{51}$.

Получаем два корня: $y_1 = -7 + \sqrt{51}$ и $y_2 = -7 - \sqrt{51}$.

Проверяем на соответствие ОДЗ ($y>0$).

Так как $\sqrt{49} < \sqrt{51} < \sqrt{64}$, то $7 < \sqrt{51} < 8$.

$y_1 = -7 + \sqrt{51} > 0$, этот корень подходит.

$y_2 = -7 - \sqrt{51} < 0$, этот корень не подходит.

Найдем соответствующее значение $x$ для $y_1 = -7 + \sqrt{51}$:

$x_1 = y_1 + 14 = (-7 + \sqrt{51}) + 14 = 7 + \sqrt{51}$.

Значение $x_1$ также положительно, поэтому пара $(7 + \sqrt{51}, -7 + \sqrt{51})$ является решением.

Ответ: $(7 + \sqrt{51}, -7 + \sqrt{51})$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \log_4 x - \log_4 y = 1, \\x+y=20; \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_4(\frac{x}{y}) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{x}{y} = 4^1$

$x = 4y$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = 4y, \\x+y=20; \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$4y + y = 20$

$5y = 20$

$y = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 \cdot 4 = 16$

Пара $(16, 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($16>0$ и $4>0$). Проверим решение: $\log_4 16 - \log_4 4 = 2 - 1 = 1$ и $16+4=20$.

Ответ: $(16, 4)$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \lg x - \lg y = 0, \\2x-y=10. \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$. (lg - это десятичный логарифм $\log_{10}$)

Преобразуем первое уравнение:

$\lg x = \lg y$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = y$

Получаем систему:

$\begin{cases} x = y, \\2x-y=10; \end{cases}$

Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$2x - x = 10$

$x = 10$

Так как $x=y$, то $y=10$.

Пара $(10, 10)$ удовлетворяет ОДЗ ($10>0$ и $10>0$). Проверим решение: $\lg 10 - \lg 10 = 1 - 1 = 0$ и $2(10)-10 = 20-10=10$.

Ответ: $(10, 10)$.