Страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?Да, безусловно. Начальные этапы решения показательных неравенств часто полностью совпадают с методами решения показательных уравнений. К таким общим методам относятся:

- Приведение обеих частей к одному основанию. Например, неравенство $3^{x+1} > 9$ преобразуется к виду $3^{x+1} > 3^2$, что является аналогом первого шага в решении уравнения $3^{x+1} = 9$.

- Введение новой переменной (метод замены). Например, для неравенства $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$ мы вводим замену $t = 2^x$, получая квадратное неравенство $t^2 - 3t + 2 < 0$. Этот же метод используется и для соответствующего уравнения.

Основное различие возникает на последнем этапе: после приведения неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, мы переходим к сравнению показателей $f(x)$ и $g(x)$, при этом учитывая значение основания $a$.

Ответ: Да, применяются, особенно на этапе преобразования неравенства.

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.Да, сходство имеется, и оно заключается в ключевом свойстве работы со знаком неравенства. При решении линейных неравенств, например $kx > b$, мы делим обе части на $k$. Если $k > 0$, знак неравенства сохраняется ($x > b/k$), а если $k < 0$, знак меняется на противоположный ($x < b/k$).

Аналогичная ситуация наблюдается и при решении показательных неравенств. После приведения неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, мы переходим к неравенству для показателей.

- Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $f(x) > g(x)$.

- Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^x$ является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

Таким образом, и в линейных, и в показательных неравенствах существует правило, которое определяет, сохранится ли знак неравенства или изменится на противоположный при переходе к следующему шагу решения.

Ответ: Да, сходство заключается в том, что в обоих случаях при определённых условиях (знак коэффициента в линейных неравенствах и величина основания в показательных) знак неравенства либо сохраняется, либо меняется на противоположный.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.Да, это условие является фундаментальным и учитывается всегда. Показательная функция $y=a^x$ по определению рассматривается только для основания $a > 0$ и $a \neq 1$.

Обоснование:

- Если бы основание $a$ было отрицательным (например, $a = -2$), то выражение $a^x$ (т.е. $(-2)^x$) было бы не определено в области действительных чисел для многих значений $x$, например, для $x=1/2$ (так как $\sqrt{-2}$ не является действительным числом). Это делает невозможным систематическое решение неравенств.

- Если $a=0$, то $0^x$ равно 0 при $x>0$ и не определено при $x \le 0$. Это не является показательной функцией в стандартном понимании.

- Если $a=1$, то $1^x=1$ для любого $x$. Неравенство превращается в тривиальное, например $1 > 5$ (неверно) или $1 < 5$ (верно), и переменная $x$ исчезает.

Именно условие $a > 0$ и $a \neq 1$ гарантирует, что показательная функция определена для всех действительных $x$ и является монотонной (либо строго возрастающей, либо строго убывающей), что и позволяет решать неравенства путем сравнения показателей.

Ответ: Да, учитывается, так как условие $a > 0$ (и $a \neq 1$) является частью определения показательной функции, на свойствах которой основаны все методы решения.

Решите неравенства (18.1–18.7):

18.1. 1) $2^x > 32;$

2) $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49};$

3) $6^{x-4} < 36;$

4) $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}.$

1) Дано показательное неравенство $2^x > 32$.

Чтобы решить его, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Правая часть $32$ может быть представлена как $2^5$, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^5$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что если значение функции больше, то и ее аргумент (показатель степени) тоже больше. Поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

Сравнивая показатели, получаем: $x > 5$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2) Дано неравенство $(\frac{4}{7})^x < \frac{16}{49}$.

Приведем обе части к одному основанию $\frac{4}{7}$.

Представим правую часть $\frac{16}{49}$ в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$. Поскольку $16 = 4^2$ и $49 = 7^2$, то $\frac{16}{49} = \frac{4^2}{7^2} = (\frac{4}{7})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{4}{7})^x < (\frac{4}{7})^2$.

Основание степени $a = \frac{4}{7}$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < \frac{4}{7} < 1$). Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что если значение функции меньше, то ее аргумент (показатель степени) наоборот, больше. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Сравнивая показатели, получаем: $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) Дано неравенство $6^{x-4} < 36$.

Приведем обе части к основанию 6. Правая часть $36$ это $6^2$.

Неравенство принимает вид: $6^{x-4} < 6^2$.

Основание степени $a=6$ больше единицы ($6 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.

Переходим к неравенству для показателей: $x-4 < 2$.

Решаем полученное линейное неравенство, прибавив 4 к обеим частям: $x < 2 + 4$, откуда $x < 6$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

4) Дано неравенство $(\frac{3}{5})^{x+3} > \frac{27}{125}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{3}{5}$.

Правая часть $\frac{27}{125}$ может быть представлена как степень числа $\frac{3}{5}$, так как $27 = 3^3$ и $125 = 5^3$. Следовательно, $\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{x+3} > (\frac{3}{5})^3$.

Основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале ($0; 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем неравенство для показателей: $x+3 < 3$.

Вычитаем 3 из обеих частей: $x < 3 - 3$, откуда $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

18.2. 1) $5^{1-x} < 125$;

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$;

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{4}{81})^{3+x}$;

4) $(\frac{1}{32})^{x} < 8^{2x-1}$.

1) $5^{1-x} < 125$

Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 5.

Представим число 125 в виде степени с основанием 5: $125 = 5^3$.

Исходное неравенство примет вид:

$5^{1-x} < 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$1 - x < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$-x < 3 - 1$

$-x < 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -2$

Решением неравенства является интервал $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

2) $(\frac{3}{4})^{2x+1} > \frac{27}{64}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{3}{4}$.

Представим правую часть $\frac{27}{64}$ в виде степени с основанием $\frac{3}{4}$:

$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{3}{4})^{2x+1} > (\frac{3}{4})^3$

Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x + 1 < 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x < 3 - 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3) $(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{4}{81})^{3+x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{81}$ можно выразить через $\frac{9}{2}$.

$\frac{4}{81} = \frac{2^2}{9^2} = (\frac{2}{9})^2$

Дробь $\frac{2}{9}$ является обратной к дроби $\frac{9}{2}$, то есть $\frac{2}{9} = (\frac{9}{2})^{-1}$.

Тогда $\frac{4}{81} = ((\frac{9}{2})^{-1})^2 = (\frac{9}{2})^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$(\frac{9}{2})^{x+4} > ((\frac{9}{2})^{-2})^{3+x}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим правую часть:

$(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{9}{2})^{-2(3+x)}$

$(\frac{9}{2})^{x+4} > (\frac{9}{2})^{-6-2x}$

Так как основание степени $\frac{9}{2} > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x + 4 > -6 - 2x$

Решим полученное линейное неравенство:

$x + 2x > -6 - 4$

$3x > -10$

$x > -\frac{10}{3}$

Решением неравенства является интервал $(-\frac{10}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{32})^x < 8^{2x-1}$

Для решения этого неравенства приведем обе его части к общему основанию 2.

Представим левую и правую части в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$

$8 = 2^3$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-5})^x < (2^3)^{2x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^{-5x} < 2^{3(2x-1)}$

$2^{-5x} < 2^{6x-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-5x < 6x - 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$-5x - 6x < -3$

$-11x < -3$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$11x > 3$

$x > \frac{3}{11}$

Решением неравенства является интервал $(\frac{3}{11}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{11}; +\infty)$.

18.3. 1) $3^x \cdot 9^x < 81;$

2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x > 32;$

3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2;$

4) $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}.$

1) $3^x \cdot 9^x < 81$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^x \cdot (3^2)^x < 3^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$3^x \cdot 3^{2x} < 3^4$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{x+2x} < 3^4$

$3^{3x} < 3^4$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства для степеней к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$3x < 4$

$x < \frac{4}{3}$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; \frac{4}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.

2) $(\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{8})^x > 32$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к основанию 2.

Преобразуем каждый член неравенства:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$32 = 2^5$

Подставим эти выражения в неравенство:

$(2^{-1})^{2x} \cdot (2^{-3})^x > 2^5$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-2x} \cdot 2^{-3x} > 2^5$

Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{-2x - 3x} > 2^5$

$2^{-5x} > 2^5$

Основание степени $2 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$-5x > 5$

Разделим обе части на -5, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -1$

Решением является интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

3) $(\frac{5}{8})^{3x-1} < (2\frac{14}{25})^2$

Приведем обе части неравенства к одному основанию.

Преобразуем правую часть неравенства. Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{14}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{50+14}{25} = \frac{64}{25}$

Теперь заметим, что $\frac{64}{25} = (\frac{8}{5})^2$.

Основание в правой части, $\frac{8}{5}$, является обратным к основанию в левой части, $\frac{5}{8}$. То есть $\frac{8}{5} = (\frac{5}{8})^{-1}$.

Подставим это в правую часть исходного неравенства:

$(2\frac{14}{25})^2 = ((\frac{8}{5})^2)^2 = ( ((\frac{5}{8})^{-1})^2 )^2 = (\frac{5}{8})^{-4}$

Теперь неравенство принимает вид:

$(\frac{5}{8})^{3x-1} < (\frac{5}{8})^{-4}$

Так как основание степени $\frac{5}{8}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$3x-1 > -4$

$3x > -4 + 1$

$3x > -3$

$x > -1$

Решением является интервал $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

4) $(2,5)^{x+4} > (0,16)^{x-3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Для этого представим десятичные дроби в виде обыкновенных.

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$.

Основание $\frac{2}{5}$ является обратным к основанию $\frac{5}{2}$. То есть $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

Значит, $0,16 = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2 = ((\frac{5}{2})^{-1})^2 = (\frac{5}{2})^{-2}$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > ((\frac{5}{2})^{-2})^{x-3}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2(x-3)}$

$(\frac{5}{2})^{x+4} > (\frac{5}{2})^{-2x+6}$

Так как основание степени $\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x+4 > -2x+6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x + 2x > 6 - 4$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Решением является интервал $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

18.4. 1) $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} < 9;$

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} < 26;$

3) $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} < 315;$

4) $2^{x} - 2^{x-4} > 15.$

1) Решим неравенство $2^{x+2} - 2^{x+1} + 2^{x-1} - 2^{x-2} < 9$.

Для решения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{x-2}$.

$2^{x-2} \cdot (2^4 - 2^3 + 2^1 - 2^0) < 9$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{x-2} \cdot (16 - 8 + 2 - 1) < 9$

$2^{x-2} \cdot 9 < 9$

Разделим обе части неравенства на 9 (знак неравенства не меняется, так как 9 > 0):

$2^{x-2} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x-2} < 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x - 2 < 0$

$x < 2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

2) Решим неравенство $(\frac{1}{5})^{x+1} + (\frac{1}{5})^{x-1} < 26$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $(\frac{1}{5})^{x-1}$.

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot ((\frac{1}{5})^2 + 1) < 26$

Выполним вычисления в скобках:

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot (\frac{1}{25} + 1) < 26$

$(\frac{1}{5})^{x-1} \cdot \frac{26}{25} < 26$

Умножим обе части неравенства на $\frac{25}{26}$ (знак неравенства не меняется, так как $\frac{25}{26} > 0$):

$(\frac{1}{5})^{x-1} < 25$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{5}$. Учтем, что $25 = 5^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

$(\frac{1}{5})^{x-1} < (\frac{1}{5})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{5})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 > -2$

$x > -1$

Решением неравенства является интервал $(-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $3^{2x-1} + 3^{2x-2} - 3^{2x-4} < 315$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x-4}$.

$3^{2x-4} \cdot (3^3 + 3^2 - 1) < 315$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{2x-4} \cdot (27 + 9 - 1) < 315$

$3^{2x-4} \cdot 35 < 315$

Разделим обе части неравенства на 35 (знак неравенства не меняется):

$3^{2x-4} < \frac{315}{35}$

$3^{2x-4} < 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^{2x-4} < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохранив знак:

$2x - 4 < 2$

$2x < 6$

$x < 3$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4) Решим неравенство $2^x - 2^{x-4} > 15$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{x-4}$.

$2^{x-4} \cdot (2^4 - 1) > 15$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{x-4} \cdot (16 - 1) > 15$

$2^{x-4} \cdot 15 > 15$

Разделим обе части неравенства на 15:

$2^{x-4} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x-4} > 2^0$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Решением неравенства является интервал $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

18.5. 1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500;$

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \geq 270;$

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001;$

4) $2^x - 2^{x-4} - 15 < 0.$

1) $5^{2x+1} + 3 \cdot 5^{2x-1} > 3500$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$5^{2x} \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} > 3500$

$5 \cdot 5^{2x} + 3 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^{2x} > 3500$

Вынесем общий множитель $5^{2x}$ за скобки:

$5^{2x} \left(5 + \frac{3}{5}\right) > 3500$

Упростим выражение в скобках:

$5^{2x} \left(\frac{25}{5} + \frac{3}{5}\right) > 3500$

$5^{2x} \cdot \frac{28}{5} > 3500$

Выразим $5^{2x}$:

$5^{2x} > 3500 \cdot \frac{5}{28}$

Сократим дробь: $3500 / 28 = 125$.

$5^{2x} > 125 \cdot 5$

$5^{2x} > 625$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5:

$625 = 5^4$

Получаем неравенство:

$5^{2x} > 5^4$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} \ge 270$

Используем свойства степеней для преобразования левой части:

$3^x \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^{-1} \ge 270$

$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x \ge 270$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x \left(3 + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

$3^x \left(\frac{9}{3} + \frac{1}{3}\right) \ge 270$

$3^x \cdot \frac{10}{3} \ge 270$

Выразим $3^x$:

$3^x \ge 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^x \ge 27 \cdot 3$

$3^x \ge 81$

Представим 81 как степень с основанием 3:

$81 = 3^4$

Получаем неравенство:

$3^x \ge 3^4$

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) $10^{x-5} + 10^{x-2} < 1001$

Преобразуем левую часть, используя свойства степеней:

$10^x \cdot 10^{-5} + 10^x \cdot 10^{-2} < 1001$

Вынесем $10^x$ за скобки:

$10^x \left(10^{-5} + 10^{-2}\right) < 1001$

$10^x \left(\frac{1}{100000} + \frac{1}{100}\right) < 1001$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$10^x \left(\frac{1}{100000} + \frac{1000}{100000}\right) < 1001$

$10^x \cdot \frac{1001}{100000} < 1001$

Выразим $10^x$:

$10^x < 1001 \cdot \frac{100000}{1001}$

$10^x < 100000$

Представим 100000 как степень с основанием 10:

$100000 = 10^5$

Получаем неравенство:

$10^x < 10^5$

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4) $2^{2x} - 2^{x+4} - 15 \le 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$(2^x)^2 - 2^x \cdot 2^4 - 15 \le 0$

$(2^x)^2 - 16 \cdot 2^x - 15 \le 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 16t - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 16t - 15 = 0$ через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 256 + 60 = 316$

Корни уравнения равны:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{316}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{79}}{2} = 8 \pm \sqrt{79}$

Парабола $y = t^2 - 16t - 15$ направлена ветвями вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями:

$8 - \sqrt{79} \le t \le 8 + \sqrt{79}$

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Оценим значение $\sqrt{79}$: $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, следовательно $8 < \sqrt{79} < 9$.Это означает, что корень $8 - \sqrt{79}$ является отрицательным числом.

Объединяя условия $8 - \sqrt{79} \le t \le 8 + \sqrt{79}$ и $t > 0$, получаем:

$0 < t \le 8 + \sqrt{79}$

Произведем обратную замену $t = 2^x$:

$0 < 2^x \le 8 + \sqrt{79}$

Левая часть неравенства, $2^x > 0$, верна для любого действительного $x$. Решим правую часть:

$2^x \le 8 + \sqrt{79}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x \le \log_2(8 + \sqrt{79})$

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(8 + \sqrt{79})]$.

18.6. 1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$;

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$;

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$;

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$.

1) $25^x < 6 \cdot 5^x - 5$

Перепишем неравенство, приведя все члены к основанию 5. Так как $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, получаем:

$(5^x)^2 < 6 \cdot 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5^x)^2 - 6 \cdot 5^x + 5 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку показательная функция $y=5^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 6t + 5 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями: $1 < t < 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$1 < 5^x < 5$

Представим 1 и 5 как степени с основанием 5: $1 = 5^0$, $5 = 5^1$.

$5^0 < 5^x < 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция возрастающая. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей:

$0 < x < 1$

Ответ: $x \in (0; 1)$.

2) $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Перепишем неравенство, заметив, что $3^{2x} = (3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие: $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Парабола $y = t^2 - 10t + 9$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $1 < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 < 3^x < 9$

Представим 1 и 9 в виде степеней с основанием 3: $1 = 3^0$, $9 = 3^2$.

$3^0 < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$0 < x < 2$

Ответ: $x \in (0; 2)$.

3) $4^x + 2^{x+3} > 20$

Преобразуем неравенство, приводя все к основанию 2. $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$.

$(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x > 20$

Перенесем 20 в левую часть:

$(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 > 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 + 8t - 20 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

$t_{1,2} = \frac{-8 \pm 12}{2}$

$t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$, $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Парабола $y = t^2 + 8t - 20$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $t < -10$ или $t > 2$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t < -10$. Остается $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$:

$2^x > 2$

$2^x > 2^1$

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

4) $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Представим $2^{2x}$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x + 2 > 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$t^2 - 3t + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Парабола $y = t^2 - 3t + 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $t$ вне интервала между корнями: $t < 1$ или $t > 2$.

Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$ (для $t < 1$ имеем $0 < t < 1$).

Выполним обратную замену. Получаем совокупность двух неравенств:

$2^x < 1$ или $2^x > 2$

Решим каждое из них:

1) $2^x < 1 \implies 2^x < 2^0$. Так как основание $2 > 1$, то $x < 0$.

2) $2^x > 2 \implies 2^x > 2^1$. Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем:

$x < 0$ или $x > 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

18.7. 1) $3^{x+1} > 11^{x+1}$;

2) $2^x < 5^x$;

3) $4^{x-2} < 7^{x-2}$;

4) $6^{x^2-4} > 13^{x^2-4}$.

1) Дано неравенство $3^{x+1} > 11^{x+1}$.

Разделим обе части неравенства на $11^{x+1}$. Так как $11^{x+1} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства при делении не изменится:

$\frac{3^{x+1}}{11^{x+1}} > \frac{11^{x+1}}{11^{x+1}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:

$(\frac{3}{11})^{x+1} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{11}$, зная, что любое число в степени 0 равно 1:

$(\frac{3}{11})^{x+1} > (\frac{3}{11})^0$

Мы получили показательное неравенство. Так как основание степени $a = \frac{3}{11}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, соответствующая показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x+1 < 0$

$x < -1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2) Дано неравенство $2^x < 5^x$.

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{2^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$

$(\frac{2}{5})^x < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x < (\frac{2}{5})^0$

Основание степени $a = \frac{2}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x > 0$

Решением неравенства является интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

3) Дано неравенство $4^{x-2} < 7^{x-2}$.

Разделим обе части неравенства на $7^{x-2}$. Так как $7^{x-2} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{4^{x-2}}{7^{x-2}} < \frac{7^{x-2}}{7^{x-2}}$

$(\frac{4}{7})^{x-2} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{7}$:

$(\frac{4}{7})^{x-2} < (\frac{4}{7})^0$

Так как основание степени $a = \frac{4}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x-2 > 0$

$x > 2$

Решением неравенства является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

4) Дано неравенство $6^{x^2-4} > 13^{x^2-4}$.

Разделим обе части неравенства на $13^{x^2-4}$. Так как $13^{x^2-4} > 0$ для любого действительного значения $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{6^{x^2-4}}{13^{x^2-4}} > \frac{13^{x^2-4}}{13^{x^2-4}}$

$(\frac{6}{13})^{x^2-4} > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{6}{13}$:

$(\frac{6}{13})^{x^2-4} > (\frac{6}{13})^0$

Основание степени $a = \frac{6}{13}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-4 < 0$

Это квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x-2)(x+2)=0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. На числовой оси эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Поскольку парабола $y=x^2-4$ направлена ветвями вверх, отрицательные значения она принимает между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-2 < x < 2$.

Решением неравенства является интервал $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.