Вопросы, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.

1. Применяются ли при решении показательных неравенств способы решения показательных уравнений?Да, безусловно. Начальные этапы решения показательных неравенств часто полностью совпадают с методами решения показательных уравнений. К таким общим методам относятся:

- Приведение обеих частей к одному основанию. Например, неравенство $3^{x+1} > 9$ преобразуется к виду $3^{x+1} > 3^2$, что является аналогом первого шага в решении уравнения $3^{x+1} = 9$.

- Введение новой переменной (метод замены). Например, для неравенства $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$ мы вводим замену $t = 2^x$, получая квадратное неравенство $t^2 - 3t + 2 < 0$. Этот же метод используется и для соответствующего уравнения.

Основное различие возникает на последнем этапе: после приведения неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, мы переходим к сравнению показателей $f(x)$ и $g(x)$, при этом учитывая значение основания $a$.

Ответ: Да, применяются, особенно на этапе преобразования неравенства.

2. Имеется ли сходство в решениях показательных неравенств и линейных неравенств? Ответ обоснуйте.Да, сходство имеется, и оно заключается в ключевом свойстве работы со знаком неравенства. При решении линейных неравенств, например $kx > b$, мы делим обе части на $k$. Если $k > 0$, знак неравенства сохраняется ($x > b/k$), а если $k < 0$, знак меняется на противоположный ($x < b/k$).

Аналогичная ситуация наблюдается и при решении показательных неравенств. После приведения неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$, мы переходим к неравенству для показателей.

- Если основание $a > 1$, то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $f(x) > g(x)$.

- Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y=a^x$ является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

Таким образом, и в линейных, и в показательных неравенствах существует правило, которое определяет, сохранится ли знак неравенства или изменится на противоположный при переходе к следующему шагу решения.

Ответ: Да, сходство заключается в том, что в обоих случаях при определённых условиях (знак коэффициента в линейных неравенствах и величина основания в показательных) знак неравенства либо сохраняется, либо меняется на противоположный.

3. Учитывается ли при решении показательных неравенств условие о том, что основание должно быть только положительным? Ответ обоснуйте.Да, это условие является фундаментальным и учитывается всегда. Показательная функция $y=a^x$ по определению рассматривается только для основания $a > 0$ и $a \neq 1$.

Обоснование:

- Если бы основание $a$ было отрицательным (например, $a = -2$), то выражение $a^x$ (т.е. $(-2)^x$) было бы не определено в области действительных чисел для многих значений $x$, например, для $x=1/2$ (так как $\sqrt{-2}$ не является действительным числом). Это делает невозможным систематическое решение неравенств.

- Если $a=0$, то $0^x$ равно 0 при $x>0$ и не определено при $x \le 0$. Это не является показательной функцией в стандартном понимании.

- Если $a=1$, то $1^x=1$ для любого $x$. Неравенство превращается в тривиальное, например $1 > 5$ (неверно) или $1 < 5$ (верно), и переменная $x$ исчезает.

Именно условие $a > 0$ и $a \neq 1$ гарантирует, что показательная функция определена для всех действительных $x$ и является монотонной (либо строго возрастающей, либо строго убывающей), что и позволяет решать неравенства путем сравнения показателей.

Ответ: Да, учитывается, так как условие $a > 0$ (и $a \neq 1$) является частью определения показательной функции, на свойствах которой основаны все методы решения.